Регуляторы состояния

Уравнение объекта в пространстве состоянии

(ф.234) x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

x(0) - начальные условия.

Необходимо построить регулятор формирующий вектор u(k) в зависимости от век-

тора x(k), переводящий систему в конечное состояние x(N)»0 и минимизирующий

критерий

(ф.235)

Матрицы:

S - положительная, симметричная и полуопределенная.

Q - положительная, симметричная и полуопределенная.

R - положительная, симметричная и определенная.

то,есть

(ф.236) x^TSx ³ 0; x^TQx ³ 0; u^TRu > 0

Следует иметь в виду, что лишен смысла случай

S = 0 Q = 0.

Решение поставленной задачи было дано Калманом.

Замечание.

а) В соответствии с принципом максимума, каждый отрезок оптимальной траекто-

рии также является оптимальным.

б) Из уравнений динамики следует, что упраление u(k) определяет последующие

значения состояний x(k+1), x(k+2),.....

Оптимальный сигнал управления u(k) можно получить путем обратного расчета.

Получаем оптимальный регурятор с постоянными параметрами:

(ф.237) U⁰(k) = -`kx(k)

`k - матрица коэффициентов

(ф.238) `k = (R+B<sup>T</sup>`PB)^-1B^T`PA

`P = P₀ - решение стационарного матричного уравнения Риккати

(ф.239) `

Решение м.б. получено с помощью рекурректного соотношения

(ф.240)

Начальные условия

(ф.241) P_N = Q

Система уравнений замкнутой системы

(ф.242) x(k+1) = [A - B`k]x(k)

Характеристическое уравнение

(ф.243) det [zE - A+B`k] = 0

Система является асимптотически устойчивой, если объект обладает свойством

полной управляемости. Если это не так, то неуправляемая часть системы должна

иметь по крайней мере асимптотически устойчивые собственные значения.