Переменный шаг аргумента

Когда аргументы представлены не арифметической прогрессией формулы для численного интегрирования и дифференцирования усложняются.

Одношаговые формулы дифференцирования и интегрирования принимают вид:

¾ дифференцирование (вариант 1):

(2.17)

¾ интегрирование методом трапеций на интервале [X _i-1, X _i]:

(2.18)

Интеграл на интервале [X ₁, X _n] определяется как сумма интегралов на отдельных интервалах [X _i-1, X _i]:

(2.16)

Для двухшаговых схем численного дифференцирования и интегрирования используется аппроксимацию заданной табулированной функции на интервале [X _i-1, X _i+1] полиномом второго порядка:

(2.17)

где ,

Тогда численное значение первой производной для i-ой точки равно:

(2.18)

Численное значение интеграла на интервале [X _i-1, X _i+1] получим по зависимости:

(2.19)

Интеграл на интервале [X ₁, X _n] определяется как сумма интегралов на отдельных интервалах [X _i-1, X _i].

Для расчета значения первой производной по формуле (2.18) можно использовать функцию пользователя Deriv:

Function Deriv(X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3)

XX2 = X2 - X1

XX3 = X3 - X1

YY2 = Y2 - Y1

YY3 = Y3 - Y1

B = (YY2 * XX3 ^ 2 - YY3 * XX2 ^ 2) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)

C = ((Y3 - Y1) * XX2 - (Y2 - Y1) * XX3) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)

Deriv = B + 2 * C * XX2

End Function

Для расчета значения интеграла по формуле (2.19) можно использовать функцию пользователя Simpson:

Function Simpson(X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3)

XX2 = X2 - X1

XX3 = X3 - X1

YY2 = Y2 - Y1

YY3 = Y3 - Y1

B = (YY2 * XX3 ^ 2 - YY3 * XX2 ^ 2) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)

C = ((Y3 - Y1) * XX2 - (Y2 - Y1) * XX3) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)

Simpson = Y1 * XX3 + B / 2 * XX3 ^ 2 + C / 3 * XX3 ^ 3

End Function

В приведенных текстах функций используются следующая связь между формальными параметрами (в тексте функций) и фактическими параметрами (в таблице Excel):