Модальный синтез

Модальный синтез предполагает формирование таких обратных связей по состоянию, при которых обеспечивается заданное расположение полюсов замкнутой системы.

Рассмотрим уравнения состояния замкнутой системы

На рис. 2.1 приведена структура, соответствующая этим уравнениям.

g (t)

Y (t)

B

C

A

u (t)

X (t)

K

ò

dX (t)/ dt

Рис. 2.1. Система с обратной связью по состоянию

Свободное движение системы (при g (t) = 0) описывается выражением:

где K – вектор коэффициентов обратной связи.

Основная теорема модального управления гласит, что если линейная динамическая система является управляемой, то линейная обратная связь может быть выбрана таким образом, что матрица (А – ВK) будет иметь желаемый спектр (желаемое расположение полюсов замкнутой системы).

При доказательстве этой теоремы используется каноническая форма управляемости. Рассмотрим одномерную систему с вектором обратной связи

Заданному спектру соответствует характеристический полином замкнутой системы

Этому полиному можно поставить в соответствие каноническую форму матрицы замкнутой системы

Рассматривая канонические формы матриц А и В исходной системы, можно записать:

Откуда следует:

Последняя формула справедлива при любых параметрах, поэтому теорему можно считать доказанной.

Пример 2.6. Модальный синтез для системы со скалярным входом.

Матрица управляемости

Определитель не равен нулю, следовательно, система является полностью управляемой.

Характеристическое уравнение:

Коэффициенты уравнения α₀ = 2, α₁ = –3.

Оба полюса положительные (λ₁=2, λ₂=1), следовательно, система является неустойчивой.

Зададим желаемые полюса замкнутой системы:

λ₁* = –1, λ₂* = –3.

Характеристическое уравнение желаемой замкнутой системы имеет вид:

Коэффициенты уравнения β₀ = 3, β₁ = 4.

Таким образом, коэффициенты обратной связи:

k ₁ = β₀ – α₀ = 3 – 2 = 1,

k ₂ = β₁ – α₁ = 4 – (–3) = 7.

Уравнения состояния:

Этим уравнениям соответствует структурная схема, показанная на рис. 2.2.

g (t)

u (t)

ò

ò

–2

x 1(t)

x 2(t)

Рис. 2.2. Пример регулятора по состоянию