Основные определения и теоремы

Определение 2.1. Многочленом (или полиномом) n -й степени от неизвестного х называется выражение вида: –

сумма неотрицательных целых степеней неизвестного х, взятых с некоторыми коэффициентами.

Определение 2.2. Два многочлена f (x) и g (x) будут считаться равными (или тождественно равными), f (x)= g (x), в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

Для многочленов с комплексными коэффициентами определены операции сложения и умножения.

Если даны два многочлена f (x) и g (x) с комплексными коэффициентами, записанные для удобства по возрастающим степеням x:

и если, например, n≥s, то их суммой называется многочлен

f(x)+g(x)=с₀+с₁x +…+с_n–1 x^n–1+с_nxⁿ,

коэффициенты, которого получаются сложением коэффициентов многочленов f (x) и g (x), стоящих при одинаковых степенях неизвестного, т.е.

с_i=а_i+b_i i= 0, 1, …, n,

причем при n>s коэффициенты b_{s+ 1}, b_{s+ 2}, …, b _n следует считать равными нулю. Степень суммы будет равна n, если n больше s, но при n=s она может случайно оказаться меньше n, а именно в случае b_n= –а_n.

Произведением многочленов f (x) и g (x) называется многочлен

f(x)·g(x)=d₀+d₁x +…+d_n+s–1x^n+s–1+d_n+sx^n+s,

коэффициенты которого определяются следующим образом:

d_i=Σа_kb_l, i= 0, 1, …, n+s– 1, n+s,

т.е. коэффициенты d_i есть результат перемножения таких коэффициентов многочленов f (x) и g (x), сумма индексов которых равна i, и сложения всех таких произведений, в частности, d₀=а₀b₀, d₁=а₀b₁+ а₁b₀, …, d_n+s=а_nb_s. Из последнего равенства вытекает неравенство d_n+s≠ 0 и поэтому степень произведения двух многочленов равна сумме степеней многочленов.

Теорема 2.1. Для любых многочленов f (x) и g (x) можно найти такие многочлены q (x) и r (x), что

f (x)= g (x) q (x)+ r (x), (1)

причем степень многочлена r (x) меньше степени g (x) или же r (x)=0. Многочлены q (x) и r (x), удовлетворяющие условию (1) определяются однозначно.

Определение 2.3. Пусть даны ненулевые многочлены f (x) и g (x) с комплексными коэффициентами. Если остаток от деления f (x) на g (x) равен нулю, т.е., как говорят, f (x) делится (или нацело делится) на g (x), то многочлен g (x) называется делителем многочлена f(x).

Определение 2.4. Многочлен h (x) называется общим делителем для f (x) и g (x), если он служит делителем для каждого из этих многочленов.

Определение 2.5. Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f (x) и g (x) называется многочлен d (x), который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов f (x) и g (x) символом (f (x), g (x)).

Теорема 2.2. Если d (x) есть наибольший общий делитель многочленов f (x) и g (x), то можно найти такие многочлены u (x) и v (x), что

f (x) u (x)+ g (x) v (x)= d (x).

Можно считать при этом, если степени многочленов f (x) и g (x) больше нуля, что степень u(x) меньше степени g (x), а степень v (x) меньше степени f (x).

Теорема 2.3. Многочлены f (x) и g (x) тогда и только тогда взаимно просты, если можно найти многочлены u(x) и v (x), удовлетворяющие равенству

f (x) u (x)+ g (x) v (x)=1.

Определение 2.6. Число f (с)=а₀ сⁿ+а₁с^n–1+…+а_n–1с+а_n, полученное заменой в выражении

f(x)= а₀xⁿ+а₁x^n–1 +…+а_n–1x+а_n (2)

неизвестного x числом c и последующим выполнением всех указанных операций, называется значением многочлена f(x) при x=с.

Определение 2/7. Число с называется корнем многочлена f (x) (или уравнения f (x)=0), если f (с) =0.

Теорема 2/4 (Безу). Остаток от деления многочлена f (x) на линейный многочлен (x –с) равен значению f (с) многочлена f (x) при x = c.

Следствие. Число c тогда и только тогда является корнем многочлена f (x), если f (x) делится на (x – c).

Определение 2.8. Кратным корнем многочлена (2) называется число c такое, что многочлен f (x) делится нацело на некоторую степень (x – с). При этом c называется корнем кратности k, если f (x) делится нацело на (x – c) ^k, но не делится на (x – c) ^{k +1}. Число k называется кратностью корня c в многочлене f (x), а сам корень c – k-кратным корнем этого многочлена. Если k =1, то говорят, корень c – простой.

Теорема 2.5. Если число c является k -кратным корнем многочлена f (x), то при k >1 оно будет (k –1)–кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k =1, то c не будет служить корнем для f '(x).

Теорема 2.6 (основная теорема алгебры комплексных чисел). Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие 1. Всякий многочлен f (x) степени n, n ≥1, с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Всякий многочлен f(x)= а₀xⁿ+а₁x^n–1 +…+а_n–1x+а_n степени n, n ≥1, с любыми числовыми коэффициентами можно разложить в произведение п линейных множителей,

f (x)= а (x – α ₁)(x – α ₂) … (x – α _n), (3)

где α _1, α ₂ … α _n корни многочлена f (x) написанные столько раз какова их кратность. Причем, разложение (3) является для многочлена f (x) единственным с точностью до порядка сомножителей.

Следствие 3. Если многочлены f (x) и g (x), степени которых не превосходят n, имеют равные значения более чем при n различных значениях неизвестного, то f (x)= g (x).

Следствие 4. Существует многочлен не более чем п- ой степени, принимающий наперед заданные значения при п+ 1 заданных различных значениях неизвестного.

Этот многочлен можно найти по формуле:

(4)

называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Рассмотрим следствия основной теоремы для многочленов с действительными коэффициентами.

Следствие 2.5. Если комплексное (но не действительное) число служит корнем многочлена f (x) с действительными коэффициентами, то корнем для f (x) будет и сопряженное число , причем той же кратности, что и корень .

Следствие 2.6. Комплексные корни многочлена f (x) с действительными коэффициентами попарно сопряжены.

Следствие 2.7. Всякий многочлен f (x) с действительными коэффициентами представим, притом единственным способом (с точностью до порядка сомножителей), в виде произведения своего старшего коэффициента а ₀ и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида , соответствующих его действительным корням, и квадратных вида , соответствующих парам сопряженных комплексных корней.

Следствие 2.8. Многочлен f (x) нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Определение 2.9. Пусть дан многочлен f (x) степени n со старшим коэффициентом 1,

f (x) =xⁿ+а ₁ x^n–1 +а ₂ x^n–2…+а_{n –1} x+а_n, (5)

и пусть α ₁, α ₂, …, α_n – его корни (каждый кратный корень взят здесь столько раз какова его кратность). Тогда f (x) обладает следующим разложением:

f (x)=(x – α ₁)(x – α ₂) … (x – α _n).

Перемножая скобки, стоящие справа, а затем, приводя подобные члены и сравнивая полученные коэффициенты с коэффициентами (5), мы получим следующие равенства, называемые формулами Вьета (Виета) и выражающие коэффициенты многочлена через его корни:

а ₁ = – (α ₁ +α ₂ + … +α_n),

а₂=α ₁ α ₂ +α ₁ α ₃ +…+α ₁ α_n+α ₂ α ₃ +…+α_{n– 1} α_n,

а₃= – (α ₁ α ₂ α₃+α ₁ α ₂ α ₄ +…+α_{n– 2} α_{n– 1} α_n),

................................

а_{n– 1}=(–1) ^{n– 1}(α ₁ α ₂ …α_{n– 1} +α ₁ α ₂ …α_{n– 2} α_n+…+α ₂ α ₃ …α_n),

а_n =(–1) ⁿα ₁ α ₂ …α_n,

таким образом, в правой части k –го равенства, k =1, 2, …, n, стоит сумма всевозможных произведений по k корней, взятая со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности k.

Определение 2.10. Многочлен f(x) (коэффициентами из поля Р) степени n приводим в поле Р, если он может быть разложен над этим полем (т.е. в кольце Р[ х ]) в произведение двух множителей (с коэффициентами из поля Р), степени которых меньше n

f (x)= p (x) q (x), (6)

и f (x) неприводим в поле Р, если в любом его разложении вида (6) один из множителей имеет степень 0, а другой – степень n.

Свойства неприводимых многочленов:

1° Всякий многочлен первой степени неприводим.

2° Если многочлен p (x) неприводим, то неприводимым будет и всякий многочлен сp (x), где с – отличный от нуля элемент из Р.

3° Если f (x) – произвольный, а p (x) – неприводимый многочлен, то либо f (x) делится на p (x), либо же эти многочлены взаимно просты.

4° Если произведение многочленов f (x) и g (x) делится на неприводимый многочлен p (x), то хотя бы один из этих многочленов делится на p (x).

Теорема 2.7. Всякий многочлен f (x) из кольца Р[ х ], имеющий степень n, n >1, разлагается в произведение неприводимых множителей.

Теорема 2.8. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются только многочлены первой степени.

Теорема 2.9. Над полем действительных чисел неприводимыми являются только многочлены второй и первой степени.

Теорема 2.10 (Критерий Эйзенштейна). Пусть дан многочлен

f(x)=а₀xⁿ+а ₁ x^{n– 1} +…+а_{n– 1} x+а_n

с целыми коэффициентами. Если хотя бы одним способом можно подобрать простое число р, удовлетворяющее следующим требованиям:

1) старший коэффициент а₀ не делится на р,

2) все остальные коэффициенты делятся на р,

3) свободный член, делясь на р, не делится на р ²,

то многочлен f (x) неприводим над полем рациональных чисел.

Определение 2.11. Рациональными дробями называются дроби вида , где f (x) и g (x) некоторые многочлены, причем g (x)≠0. Рациональная дробь называется несократимой, если ее числитель взаимно прост со знаменателем. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Теорема 2.11. Всякая рациональная дробь представима, притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Определение 2.12. Правильная рациональная дробь называется простейшей, если ее знаменатель g (x) является степенью неприводимого многочлена p (x),

g (x)= p^k (x), k ≥1,

а степень числителя f (x) меньше степени p (x).

Теорема 2.12. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Теорема 2.13. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.

Теорема 2.14. Если целое число служит корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то будет делителем свободного члена этого многочлена.

Теорема 2.15. Если целочисленный многочлен, старший коэффициент которого равен единице, имеет рациональный корень, то этот корень будет целым числом.

Теорема 2.16. Для получения всех рациональных (целых и дробных) корней целочисленного многочлена

f(x)=а₀xⁿ+а ₁ x^{n– 1} +а₂x^n–2+…+а_{n– 1} x+а_n

нужно найти все целые корни многочлена

f' (x) =yⁿ+а ₁ y^{n– 1} + а ₀ а ₂ y^n–2…+ а ₀ ^n–2 а_{n– 1} y+ а ₀ ^{n– 1} а_n

и разделить их на а ₀.

Определение 2.11. Многочленом f (x ₁, x ₂, …, x_n) от n неизвестных x ₁, x ₂,…, x_n над некоторым полем Р называется сумма конечного числа членов вида , где все k_i ≥0, с коэффициентами из поля Р; при этом предполагается, что многочлен f (x ₁, x ₂, …, x_n) не содержит подобных членов и что рассматриваются лишь члены с отличными от нуля коэффициентами. Два многочлена от n неизвестных, f (x ₁, x ₂, …, x_n) и g (x ₁, x ₂, …, x_n), считаются равными (или тождественно равными), если равны их коэффициенты при одинаковых членах.

Если дан многочлен f (x ₁, x ₂, …, x_n) над полем Р, то его степенью по отношению к неизвестному x_i, i= 1, 2, …, n, называется наивысший показатель, с каким входит x_i в члены этого многочлена. Если мы назовем степенью члена число k ₁+ k ₂+…+ k_n, т.е. сумму показателей степеней при неизвестных, то степенью многочлена f (x ₁, x ₂, …, x_n) (т.е. степенью по совокупности неизвестных) будет наивысшая из степеней его членов.

Определение 2.12. Симметрическими многочленами называются многочлены от нескольких неизвестных, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. Элементарными симметрическими многочленами называются следующие n многочленов от n неизвестных:

σ₁= x ₁+ x ₂+ … + x _n,

σ₂= x ₁ x ₂+ x ₁ x ₃+…+ x _n–1 x _n,

σ₃= x ₁ x ₂ x ₃+ x ₁ x ₂ x ₄+…+ x _n–2 x _n–1 x _n,

................................

σ_n–1= x ₁ x ₂ … x _n–1+ x ₁ x ₂ … x _n–2 x _n+…+ x ₂ x ₃ … x _n,

σ_n= x ₁ x ₂ … x _n.