Извлечение корня из комплексных чисел

Переходим к вопросу о возведении комплексных чисел в степень и извлечении из них корня. Для возведения числа z=a+bi в целую положительную степень n достаточно применить к выражению (a+bi) ⁿ формулу бинома Ньютона, а затем воспользоваться равенствами i ² =- 1, i ³ =-i, i ⁴ = 1, откуда вообще

i ^{4 k} = 1, i ^{4 k+ 1} =i, i ^{4 k+ 2} =- 1, i ^{4 k+ 3} =-i.

Если число z задано в тригонометрической форме, то при натуральном n из формулы (5) вытекает следующая формула, называемая формулой Муавра:

zⁿ= (r (cos j+i sin j)) ⁿ=rⁿ (cos nj+i sin nj). (12)

При возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Формула (12) верна и для целых отрицательных показателей. Действительно, ввиду z^-n= (z^-1) ⁿ, достаточно применить формулу Муавра к числу z^-1, тригонометрическую форму которого дает формула (11).

Пусть нужно извлечь корень n -ой степени из числа z=r (cos j +i sin j). Предположим, что это сделать можно и что в результате получается число r (cos q+i sin q), т. е.

(13)

Тогда, по формуле Муавра, rⁿ=r, т. е. , где в правой части стоит однозначно определенное положительное значение корня n -й степени из положительного действительного числа r. С другой стороны, аргумент левой части равенства (13) есть nq. Нельзя утверждать, однако, что nq равно j, так как эти углы могут в действительности отличаться на слагаемое, являющееся некоторым целым кратным числа 2 p. Поэтому nq =j+ 2 kp, где k – целое число, откуда

Обратно, если мы берем число , то при любом целом k, положительном или отрицательном, n -я степень этого числа равна z. Таким образом,

(14)

Давая k различные значения, мы не всегда будем получать различные значения искомого корня. Действительно, при

k= 0, 1, 2,. .., n- 1 (15)

мы получим n значений корня, которые все будут различными, так как увеличение k на единицу влечет за собой увеличение аргумента на . Пусть теперь k произвольно. Если k=nq+r, 0£r£n-1, то

т. е. значение аргумента при нашем k отличается от значения аргумента при r=k на число, кратное 2p. Мы получаем, следовательно, такое же значение корня, как при значении k, равном r, т. е. входящем в систему (15).

Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-й степени расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей.

В частности, корень n -й из действительного числа z имеет также n различных значений; действительных среди этих значений будет два, одно или ни одного в зависимости от знака z и четности n.