Корни из единицы

Особенно важен случай извлечения корня n -й степени из числа 1. Этот корень имеет n значений, причем, ввиду равенства 1=cos0+isin0 и формулы (14), все эти значения или, как мы будем говорить, все корни n-й степени из единицы, задаются формулой

, (16)

Действительные значения корня n -й степени из единицы получаются из формулы (16) при значениях k=0 и , если n четно, и при k=0, если n нечетно. На комплексной плоскости корни n -й степени из единицы расположены на окружности единичного круга и делят ее на n равных дуг; одной из точек деления служит число 1. Отсюда следует, что те из корней n -й степени из единицы, которые не являются действительными, расположены симметрично относительно действительной оси, т. е. попарно сопряжены.

Квадратный корень из единицы имеет два значения: 1 и –1, корень четвертой степени из единицы - четыре значения: 1, –1, i и – i. Для дальнейшего полезно запомнить значения кубичного корня из единицы. Это будут, ввиду (16), числа , где k=0, 1, 2, т. е., кроме самой единицы, также сопряженные между собою числа

,

. (17)

Свойства корней

1°. Все значения корня n-й степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из этих значений на все корни n-й степени из единицы.

2°. Произведение двух корней n-й степени из единицы само есть корень n-й степени из единицы.

3°. Число, обратное корню n-й степени из единицы, само есть такой же корень.

Всякий корень k -й степени из единицы будет также корнем l -й степени из единицы для всякого l, кратного k. Отсюда следует. Что если мы будем рассматривать всю совокупность корней n -й степени из единицы, то некоторые из этих корней уже будут корнями n¢- й степени из единицы для некоторых n¢, являющихся делителями числа n. Для всякого n существуют, однако, такие корни n -й степени из единицы, которые не являются корнями из единицы никакой меньшей степени. Такие корни называются первообразными корнями n- й степени из единицы. Их существование вытекает из формулы (16): если значение корня, соответствующее данному значению k, мы обозначим через e _k (так что e₀=1), то на основании формулы Муавра e₁ ^k =e _k. Никакая степень числа e₁, меньшая, чем n -я, не будет, следовательно, равна 1, т. е. является первообразным корнем.

Теорема 1.1. Корень n-й степени из единицы e тогда и только тогда будет первообразным, если его степени e^k, k=0, 1,..., n-1, различны, т.е. если ими исчерпываются все корни n-й степени из единицы.

Число e₁, найденное выше, в общем случае – не единственный первообразный корень n -й степени. Для разыскания всех этих корней служит следующая теорема.

Теорема 1.2. Если e есть первообразный корень n- й степени из единицы, то число e^k тогда и только тогда будет первообразным корнем n-й степени, если k взаимно просто с n.

В самом деле, пусть d будет наибольшим общим делителем чисел k и n. Если d >1 и k=dk ¢, n=dn ¢, то (e ^k) ^{n ¢}=e ^{kn ¢}=e ^{k ¢ n} =(e ⁿ) ^{k ¢}=1, т. е. корень e ^k оказался корнем n ¢-й степени из единицы.

Если p – простое число, то первообразными корнями p -й степени из единицы будут все эти корни, кроме самой единицы. С другой стороны, среди корней четвертой степени из единицы первообразными будут i и - i, но не 1 и -1.

Контрольные вопросы

1. Что такое мнимая единица?

2. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

4. Формулы сложения и вычитания комплексных чисел в алгебраической форме.

5. Формулы умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме.

6. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Чему равны |αβ|, arg(αβ)?

7. Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме. Чему равны , ?

8. Что больше или ?

9. Как задается число, сопряженное с комплексным числом α:

а) в алгебраической форме;

б) в тригонометрической форме, где α= а+bi?

10. Для какого комплексного числа выполняется условие: ?

11. Формула Муавра.

12. Формула вычисления корней n-й степени из комплексного числа.

13. Что такое первообразный корень п-ой степени из единицы?

14. Свойства первообразных корне й п-ой степени из единицы.

15. Сколько первообразных корней будет у корня 6 степени из единицы.

16. Какую универсальную алгебру образуют корни п-ой степени из единицы

относительно операции умножения?