Действия над комплексными числами

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексными числами называются числа вида , где a и b - действительные числа, i – некоторый символ, квадрат которого равен , т. е. i² = . Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число a называется действительной частью числа z и обозначается Re z, bi – его мнимой частью, а b – коэффициентом при мнимой единице и обозначается Im z. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называется действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Числом, сопряженным числу z=a+bi называется число

Сложение, умножение, вычитание и деление комплексных чисел, записанных в виде алгебраическом виде, производятся следующим образом:

;

;

;

.

Мы можем сказать, что при сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части; аналогичное правило имеет место и для вычитания. Последнюю из этих формул нет необходимости запоминать; следует лишь помнить, что ее можно легко вывести. Действительно,

= .

Примеры.

;

;

;

.

Изображение комплексных чисел точками плоскости приводит к естественному желанию иметь геометрическое истолкование операций, определенных для комплексных чисел.

Для сложения такое истолкование может быть получено без затруднений. Пусть даны числа и . Соединяем соответствующие им точки (a,b) и (c,d) отрезками с началом координат и строим на этих отрезках, как на сторонах, параллелограмм (рис. 1). Четвертой вершиной этого параллелограмма будет, очевидно, точка (a+c,b+d). Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу параллелограмма, т. е. по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат. Далее, число, противоположное числу z = a+bi, будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой z относительно начала координат (рис. 2). Отсюда без труда может быть получено геометрическое истолкование вычитания.

	b

рис. 1 рис. 2

Геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел станет ясным лишь после того, как мы введем для комплексных чисел новую запись, отличную от употреблявшейся нами до сих пор. В записи числа z в виде z = a+bi используются декартовы координаты точки, соответствующей этому числу. Положение точки на плоскости вполне определяется. Однако, также заданием ее полярных координат: расстояния r от начала координат до точки и угла j между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на эту точку (рис. 3).

Длина вектора, изображающего комплексное число на плоскости, называется модулем этого числа, обозначается буквой r (а также ). Число r является неотрицательным действительным числом, причем оно равно нулю лишь для точки 0. Для числа z, лежащего на действительной оси, т.е. являющегося действительным числом, число r будет абсолютной величиной z.

рис. 3

Угол j между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на точку z называется аргументом комплексного числа z и обозначается argz. Угол j может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные, причем положительные углы должны отсчитываться против часовой стрелки. Аргумент не определен лишь для числа 0, это число вполне определяется, однако равенством

Аргумент комплексного числа является естественным обобщением знака действительного числа. В самом деле, аргумент положительного действительного числа равен 0, аргумент отрицательного действительного числа равен p. На действительной оси из начала координат выходят лишь два направления и их можно различать двумя символами + и –, тогда как на комплексной плоскости направлений, выходящих из точки 0, бесконечно много и различаются они уже углом, составляемым ими с положительным направлением действительной оси.

Между декартовыми и полярными координатами точки существует следующая связь, справедливая при любом расположении точек на плоскости:

a=cosj, b=sinj. (1)

Отсюда

(2)

Применим формулы (1) к произвольному комплексному числу z:

z=a+bi=rcosj+r(sinj)i,

или

z=r(cosj+isinj). (3)

Обратно, пусть число z=a+bi допускает запись вида z=r₀(cosj₀+isinj₀), где r₀ и j₀ – некоторые действительные числа, причем r₀³0. Тогда r₀cosj₀=a, r₀ sinj₀=b, откуда , т. е., ввиду (2), . Отсюда, используя (1), получаем: cosj₀=cosj, sinj₀=sinj, т.е. j₀=argz. Таким образом, всякое комплексное число z однозначным образом записывается в виде (3), где , j=argz (причем аргумент j определен лишь с точностью до слагаемых, кратных 2p). Эта запись числа z называется его тригонометрической формой, где , а аргумент j вычисляется из равенств:

, (4)

Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид:

z₁z₂= (r ₁(cos j+i sin j))(r ₂(cos ψ + i sin ψ)) =r ₁ r ₂(cos(j+y)+ i sin(j+y)), (5)

(6)

Действительно, пусть комплексные числа z₁ и z₂ заданы в тригонометрической форме: z ₁ =r ₁(cos j+i sin j), z ₂ =r ₂(cos ψ + i sin ψ). Перемножим эти числа:

z ₁ z ₂ = (r ₁(cos j+i sin j))(r ₂(cos ψ + i sin ψ)) =

=r ₁ r₂ (coj cosψ+i coj sinψ+i sinj cosψ- sinjsinψ) = r ₁ r ₂(cos(j+y)+ i sin(j+y)).

Аналогично для частного, где r₂¹0.

.

Отсюда следует, что

, (7)

. (8)

Т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя. Далее,

, (9)

. (10)

Т. е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей, аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.

Геометрический смысл умножения и деления выясняется теперь без затруднений. Действительно, ввиду формул (7) и (9), мы получим точку, изображающую произведение числа z₁ на z₂, если вектор, идущий от 0 к z₁ (рис. 4), повернем на угол y= arg z₂, а затем растянем этот вектор в r₂ раз. Далее, из (6) следует, что при z₁ ¹0 будет

(11)

т. е. , Таким образом, мы получим точку z ₁^-1, если от точки z ₁ перейдем к точке z ₁¢, лежащей на расстоянии r ₁^-1 от нуля на той же полупрямой, что и точка z ₁ (рис. 5), а затем перейдем к точке, симметричной с z ₁ относительно действительной оси.

z 1 z 2

Imz

Imz

z1¢

- j

z 1

Rez

y

y

z 2

z 1-1

Rez

рис. 4 рис. 5

Следует заметить, что для комплексных чисел понятия "больше" и "меньше" не могут быть разумно определены, так как эти числа, в отличие от действительных чисел, располагаются не на прямой линии, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости. Поэтому сами комплексные числа (а не их модули) никогда нельзя соединять знаком неравенства.

Замечание 1. Взяв совокупность комплексных чисел a+bi, мы получим числовое поле, относительно четырех арифметических операций: сложения, умножения, вычитания и деления (замкнутость этих операций показана выше).

Замечание 2. При выполнении преобразований будут использоваться следующие формулы тригонометрии: , , , .