Решение типовых примеров

Пример 1. Вычислить 1) , 2) , 3) , 4) .

Решение. 1) .

2) .

3) .

4) .

Пример 2. Даны комплексные числа , . Вычислить: 1) , 2) , 3) , 4) .

Решение.

1)

2)

3)

4)

Пример 3. Вычислить

Решение. Преобразуем данное выражение следующим образом:

Приведем комплексное число, стоящее в числителе к тригонометрической форме: , , , , следовательно, и . Воспользуемся формулой Муавра:

.

Совершенно аналогично преобразуем выражение, стоящее в знаменателе: приведем комплексное число, стоящее в знаменателе к тригонометрической форме: , , , , , , следовательно, и . Воспользуемся формулой Муавра: .

После этих преобразований наше выражение принимает вид:

.

Используя формулу деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, получаем:

.

Пример 4. Решить уравнение x ³+1+ i =0.

Решение. . Найдем тригонометрическую форму комплексного числа, стоящего под знаком корня: , , , , , следовательно, и . Используя формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, получим: , где k=0,1,2.

Подставляя значения k в последнюю формулу, получим три различных корня:

k =0, ,

k =1, ,

k =2, .

Пример 5. Решить уравнение x²+24-10i=0.

Решение. x² = -24+10 i. Если x = a + bi, где a и b действительные числа, то x² =-24+10 i =(a + bi)²= a ²- b ²+2 abi. Таким образом, сравнивая действительные и мнимые части, получим: a ²- b ²=-24, ab =5.

Решим полученную систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Из второго уравнения выразим b и подставим в первое, тогда

, .

Обозначив a²=v, получим квадратное уравнение v²+24v-25=0, из которого находим v₁=-25, v₂=1. Но так как a - вещественное число, то v 0, значит, v= 1, т.е. a= 1 и b= 5. Тогда имеем два значения корня в алгебраической форме: x ₁=1+5 i, x ₂= –1–5 i.

Проверка: x₁²=x₂²=1–25+10i= –24+10i.

Пример 6. Найти и изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию Im(z ²)= –2.

Решение. Пусть z = x + iy, тогда Im(z ²)=2 xy = –2, т. е. данным условием задается множество точек комплексной плоскости, лежащих на гиперболе, заданной уравнением xy = –1.

Пример 7. Найти и изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию Re z +Im z =4.

Решение. Пусть z = x + iy, тогда данное выражение принимает вид x + y =4, т.е. множеством точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию Re z +Im z =4, являются все точки, расположенные на прямой x + y =4. Изобразим это на графике:

Пример 8. Найти и изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям

.

Решение. Вычислив целую часть, получим следующую систему

Определим, какое множество точек комплексной плоскости задает неравенство системы:

– это все точки комплексной плоскости, кроме точки 0 (Im z =0, Re z =0); – это внутренность круга с центром в точке 0, радиуса r =1, включая границу круга, т.е. окружность .

Двойное неравенство , таким образом, задает множество точек комплексной плоскости, лежащих внутри круга и на его границе, но не включая центр круга (точку 0).

– это множество точек комплексной плоскости, лежащих на луче, исходящем из точки 0 и составляющем с положительной частью действительной оси Re z угол 20⁰ по положительному направлению отсчета углов.

Таким образом, искомым множеством будет пересечение найденных множеств, т. е. часть луча, исходящего из точки 0 и составляющего с положительной частью действительной оси угол 20⁰ по положительному направлению отсчета углов, содержащаяся внутри круга , исключая саму точку 0. Изобразим это на графике:

Пример 9. Выразить cos10 x, sin10 x через cos x и sin x.

Решение. Рассмотрим сумму z = cos10 x + i sin10 x. Тогда по формуле Муавра, имеем: cos10 x + i sin10 x =(cos x + i sin x)¹⁰. Используя формулу бинома Ньютона:

,

получим

.

Выделим мнимую и действительную части, тем самым получим искомые ответы.

.

.

Замечание. Аналогичным образом можно найти cos nx, sin nx, используя формулы Муавра и бинома Ньютона. Действительно:

cosnx+isinnx=(cosx+isinx)ⁿ,

,

.

Пример 10. Найти суммы

S (x)=sin x -sin 2x +…+sin 99x, T (x) = cos x -cos 2x +…+cos 99x.

Решение.Вычислим сумму T (x) +iS (x).

T (x) +iS (x)=(cos x + i sin x)-(cos 2x + i sin 2x)+…+(cos 99x + i sin 99x).

По формуле Муавра имеем:

T (x) +iS (x)=(cos x + i sin x)-(cos x + i sin x)²+…+(cos x + i sin x)⁹⁹.

Обозначим cos x + i sin x=a и воспользуемся формулой n -го члена геометрической прогрессии, тогда

.

Учитывая наше обозначение и используя формулу Муавра, получим:

.

Умножим в полученном равенстве числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю и раскроем скобки, используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

.

Преобразуем полученное выражение, используя формулы суммы косинусов двух аргументов и суммы синусов двух аргументов, тогда

.

Таким образом, мы получили следующие значения искомых сумм:

и .