Задание 6. Даны координаты вершин пирамиды : , , ,

Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Требуется: 1) записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти направляющие косинусы векторов , и ; 3) найти угол ; 4) найти проекцию вектора на вектор ; 5) найти площадь грани ; 6) найти объем пирамиды ; 7) найти длину высоты, опущенной из вершины ; 8) найти координаты вершины Е параллелограмма .

Решение:

1) Произвольный вектор в системе орт , , определяется следующей формулой:

(1)

где , , – проекции вектора на координатные оси OX, OY, OZ, называемые координатами вектора, а , , – орты (единичные векторы), направление которых совпадает с положительным направлением осей OX, OY, OZ соответственно. Если даны точки , , то координаты вектора находятся по формулам:

, , , (2)

т.е. из координат конца вектора вычитаются одноименные координаты начала. Тогда:

. (3)

Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор :

.

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим:

.

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор :

Если вектор задан формулой (1), то его модуль (длина) вычисляется по формуле:

. (4)

Применяя (4), получим модули векторов:

, , .

2) Косинусы углов, образованных вектором с положительным направлением осей координат (так называемые направляющие косинусы), определяются по формулам:

, , . (5)

Зная координаты вектора и его модуль, вычислим для вектора направляющие косинусы:

, , .

Аналогично, запишем направляющие косинусы вектора :

, , .

И, наконец, для вектора :

, , .

3) Угол – это угол между векторами и . Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин:

. (6)

Найдем скалярное произведение векторов и по формуле:

, (7)

.

Модули этих векторов уже найдены: , . Следовательно,

, тогда, .

4) Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

.

5) Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор . Тогда, как известно, длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора .

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

. (8)

Тогда

.

Отсюда, длина вектора , найденная по формуле (4), и площадь грани АВС равны:

, .

6) Объем треугольной пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения, деленной на шесть. Вычислим смешанное произведение трех векторов , и по формуле:

. (9)

.

.

7) Объем треугольной пирамиды можно также найти по формуле: , где – площадь основания, т.е. площадь грани АВС, а h – высота, опущенная из вершины D на грань АВС. Зная площадь грани АВС и объем пирамиды ABCD , вычислим длину высоты h:

, .

8) Поскольку АВСЕ – параллелограмм, то по правилу параллелограмма сложения векторов имеем: . Найдем координаты векторов и по формуле (2). Тогда получим: и . Суммой этих векторов является вектор , координаты которого вычисляются путем сложения одноименных координат векторов и , т.е. , , . Таким образом, координаты вектора : –1+10=9, 2+4=6, –2+8=6, т.е. . Зная координаты вектора и точки B, из формулы (2) можно найти координаты точки Е по формулам:

, , , (10)

, , .

Итак, точка Е имеет координаты: .