Задание 4. Даны координаты вершин треугольника KLM: K (−4;-8), L(20;10), M(16;-18)

Даны координаты вершин треугольника KLM: K (−4;-8), L (20;10), M (16;-18). Построить треугольник на координатной плоскости и найти: 1) длину стороны KL; 2) уравнение стороны KL и ее угловой коэффициент; 3)внутренний угол L; 4) уравнение высоты MN и ее длину; 5) уравнение медианы KS; 6) точку пересечения высоты MN и медианы KS; 7) площадь треугольника KLM; 8) уравнение окружности, для которой высота MN есть диаметр; 9) систему линейных неравенств, определяющих треугольник KLM.

Решение:

1) Расстояние d между точками и определяется по формуле:

d = (1)

Подставив в эту формулу координаты точек K и L, имеем:

KL = = =30

2) Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

= (2)

Подставив в (2) координаты точек K и L, получим уравнение прямой KL:

, , ,

, (KL).

Для вычисления углового коэффициента прямой KL разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда .

3) Острый угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле:

tg = . (3)

Из чертежа видно, что угол KLM в треугольнике, образованный прямыми KL и LM, – острый. Тогда этот угол можно найти по формуле (3), подставив в нее соответствующие угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой LM можно найти по формуле . Тогда тангенс угла KLM будет равен:

,

KLM =

4) Так как высота MN перпендикулярна стороне KL, то из условия перпендикулярности прямых, угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:

(4)

Подставив в (4) координаты точки M и найденный угловой коэффициент прямой MN , получим уравнение высоты MN:

,

.

Для нахождения длины MN используем формулу расстояния от точки до прямой , т.к. расстояние от точки до прямой и есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую:

. (5)

Найдем расстояние от точки М (16;-18) до прямой KL: .

.

5) Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для получения уравнения медианы KS необходимо найти координаты точки S – середины стороны LM. Координаты середины отрезка между точками и вычисляются по формулам:

, . (6)

Тогда точка S будет иметь координаты:

,

Таким образом, нам известны две точки K (−4;-8) и S (18; -4), через которые проходит прямая. Найдем уравнение прямой KS по формуле (2):

, , ,

, .

6) Точку пересечения F двух прямых MN и KS находится путем совместного решения уравнений этих прямых:

, ,

, , ,

, , т.е. F (7;-6).

7) Площадь треугольника с вершинами , , определяется по формуле , где (7)

,

Тогда площадь треугольника KLM равна:

8) Уравнение окружности радиуса r с центром в точке Е (а; b) имеет вид:

(8)

Так как MN является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка MN. Точка N – это точка пересечения прямых MN и KL. Найдем ее координаты путем совместного решения уравнений этих прямых.

, ,

, , ,

, , т.е. N (4;-2)

Воспользовавшись формулами отыскания координат середины отрезка (6), получим координаты центра Е окружности, делящего диаметр MN пополам:

, .

Следовательно, Е (10;-10) и . Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

.

9) Множество точек треугольника KLM есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой KL и содержит точку M, вторая ограничена прямой LM и содержит точку K, третья ограничена прямой KM и содержит точку L.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой KL и содержащую точку M, подставим в уравнение прямой KL координаты точки M:

.

Поэтому искомое неравенство имеет вид: .

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой LM и содержащую точку K, найдем уравнение прямой LM, подставив в формулу (2) координаты точек L и M:

, .

Подставив в найденное уравнение координаты точки K, имеем: . Искомое неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой LM и содержащую точку K: .

Чтобы найти неравенство, характеризующее полуплоскость, ограниченной прямой KM, содержащую точку L, найдем уравнение прямой KM, подставив координаты точек K и M в формулу (2):

, .

Подставляя в последнее уравнение координаты точки L, получим: . Тогда неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой KM, содержащую точку L, имеет вид: .

Таким образом, множество точек треугольника KLM определяется системой неравенств: