Задание 5. 1) координаты центра и радиус окружности: ;

Найти:

1) координаты центра и радиус окружности: ;

2) каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и

3) каноническое уравнение гиперболы, если фокусное расстояние равно 20, а угловой коэффициент одной из асимптот .

4) уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой расположен в точке F (0;-7).

Решение:

1) Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, нужно данное уравнение привести к уравнению вида , где a и b – координаты центра окружности С, а r – радиус. Для этого в исходном уравнении следует выделить полные квадраты. Сгруппируем одноименные переменные и перепишем исходное уравнение следующим образом: . Дополним выражения и до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 9 и ко второму 25 и, чтобы выражение левой части уравнения не изменилось, из всего выражения вычтем эти же числа: . Или, используя формулу квадрата суммы или разности , запишем: . Таким образом, получим:

.

Отсюда, координаты центра – , а радиус окружности .

2) Каноническое уравнение эллипса имеет вид: . Задача сводится к определению параметров а и b. Для этого подставим координаты известных точек в уравнение эллипса. Точка А: , , отсюда , . Зная параметр а, подставим его и координаты точки В в каноническое уравнение эллипса: , или , отсюда , или . Подставляя найденные параметры а и b в уравнение эллипса, получим:

3) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: . Задача сводится к нахождению параметров а и b. Если расстояние между фокусами равно 20, то параметр . Уравнение асимптоты гиперболы в общем случае имеет вид: , т.е. угловой коэффициент асимптоты гиперболы . Параметры гиперболы a, b, и c связаны соотношением , но если, принять , а (что хотелось бы считать естественным), то это соотношение выполняться не будет. Это обусловлено тем, что при делении b на а происходит сокращение на некоторый их общий множитель m, т.е. угловой коэффициент прямой можно представить в виде: , где , а . Таким образом, имеем: , или , отсюда , т.е . Тогда, , а , и искомое каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

.

4) Парабола с вершиной в начале координат, фокус которой расположен в точке , симметрична относительно оси OY. Уравнение такой параболы в общем случае имеет вид: , а ее фокус имеет координаты . Задача сводится к нахождению параметра p. Из данных координат фокуса имеем: , отсюда . Тогда, подставив в уравнение параболы найденный параметр p, получим искомое уравнение параболы: . Полученная парабола обращена в отрицательную сторону оси OY, т.к. .