Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным способом:

Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным способом:

Решение:

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных , , ., В – матрицу-столбец свободных членов:

А = , Х = , В = ,

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А·Х=В (1)

Если матрица А – невырожденная квадратная матрица (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А ^-1. Умножив обе части равенства (1) слева на матрицу А ^-1, получим:

А ^-1 ·А·Х=А ^-1 ·В.

Но А ^-1 ·А=Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому,

Х=А ^-1 ·В. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А ^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

А = .

Тогда

А ^-1= ^,

где А_ij (i =1, 2, 3; j =1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i -й строки и j -го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения А_ij элементов определителя матрицы А.

∆= =6+2-2-(3+1-8)=6-(-4)=10

0 – следовательно, матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А^{- 1}.

А ₁₁ =(−1)^1+1. A ₁₂ =(−1)^1+2.

A ₁₃ =(−1)^1+3. A ₂₁ =(−1)^2+1.

A ₂₂ =(−1)^2+2. A ₂₃ =(−1)^2+3.

A ₃₁ =(−1)^3+1. A ₃₂ =(−1)^3+2.

A ₃₃ =(−1)^3+3.

Тогда

А ^-1 = .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=А ^-1 ·В= ·

=

Отсюда , , .