Приклади розв’язування задач

1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудуйте ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів: , , .

Розв’язання:

Складемо матрицю з координат векторів та зведемо її до ступінчатого виду методом елементарних перетворень рядків:

.

, – кількість векторів, 3= вектори лінійно незалежні.

Нехай , тоді .

,

,

,

,

,

.

Перевіримо ортогональність знайдених векторів:

;

;

.

Нормуємо вектори: ; ; . Тоді покладемо:

;

;

;

–

– шуканий ортонормований базис.

2. Знайдіть ортогональну проекцію і ортогональну складову вектора на лінійний простір , де .

Розв’язання:

Перевіримо задані вектори на лінійну залежність. Для цього знайдемо ранг матриці, складеної з координат векторів:

.

Так як ранг матриці дорівнює 2, то .

Будемо шукати ортогональну проекцію вектора на у вигляді: . Так як – ортогональна складова, то = + = . Оскільки , то:

,

.

Розв’яжемо систему рівнянь за правилом Крамера:

, , .

, .

Тоді , , .

3. Знайдіть базис ортогонального доповнення підпростору , натягнутого на вектори , , .

Розв’язання:

Складемо матрицю з векторів для перевірки їх лінійної незалежності:

.

Так як , то вектори лінійно залежні, незалежними будуть вектори .

Нехай належить ортогональному доповненню підпростору . Тоді він ортогональний до векторів , тобто і . За цих умов складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Складаємо таблицю для визначення ФСР:

–1	–2
–2	–1

Звідси і , тобто .

4. Доведіть, що скалярний добуток може бути заданий формулою .

Розв’язання:

Для доведення необхідно перевірити аксіоми скалярного добутку. Значення скалярного добутку є дійсним числом. Тоді

1. ; .

2. .

3.

.

4.

Так як всі аксіоми виконуються, то визначає скалярний добуток.

5. Нехай дано два вектори . Знайдіть довжини векторів та , якщо:

1. ; 2. .

Розв’язання:

1. Скалярний добуток . Довжина вектора визначається за формулою . Тоді , . Знайдемо : .

2. ,

, ;

, .

Обчислимо .

6. Знайдіть норму вектора .

Розв’язання:

Для того, щоб нормувати вектор, потрібно знайти його довжину, а потім використати формулу . Отже, , .