Дійсний евклідовий простір

Лінійний простір над полем дійсних чисел називається дійсним евклідовим простором, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто будь-якій парі векторів та простору ставиться у відповідність дійсне число . При цьому для будь-яких векторів простору повинні виконуватися такі умови (аксіоми):

1. ; ;

2. = ;

3. , – число;

4. .

Розглянемо приклади евклідових просторів.

1. Векторний простір направлених відрізків над полем дійсних чисел, в якому скалярний добуток двох довільних векторів і введений таким чином:

, , ( – кут між і ),

, якщо = або = .

2. – множина всіх неперервних на відрізку дійсних функцій. Ця множина є лінійним простором над полем дійсних чисел. Простір стане евклідовим, якщо кожній парі функцій і із множини С поставити у відповідність число

= .

Теорема 1.1. Для будь-яких двох векторів і дійсного евклідового простору (нерівність Коші - Буняковського).

Лінійний простір називається нормованим, якщо кожному вектору цього простору поставлено у відповідність число , яке називається нормою вектору або його довжиною. При цьому повинні виконуватися умови (аксіоми норми):

1. , причому ;

2. – нерівність трикутника;

3. .

Всякий евклідовий простір можна вважати нормованим, якщо кожному вектору простору поставити у відповідність число . Щоб переконатися в цьому, потрібно перевірити виконання всіх аксіом норми. Перша і третя аксіоми норми виконуються, оскільки за першою властивістю скалярного добутку , причому лише при , тобто , лише коли , а за третьою властивістю , тобто . Аксіома трикутника також виконується. Дійсно, . Згідно нерівності Коші - Буняковського .

Отже, .

По аналогії з випадком тривимірного простору направлених відрізків введемо поняття кута між двома векторами евклідового простору. Під кутом між якими-небудь ненульовими векторами і простору будемо розуміти таке число , що .

Це означення коректне, оскільки згідно з нерівністю Коші - Буняковського , тому дріб, що визначає значення за модулем менше одиниці. Отже, які б не були ненульові вектори і евклідового простору, існує єдине число , що визначає кут між векторами і .

Приклад. Нехай – евклідовий простір, елементами якого є дійсні функції, неперервні на відрізку . Скалярний добуток двох довільних елементів та простору визначимо відомим способом . Потрібно знайти кут між елементами і .

Розв’язання:

Згідно з означенням скалярного добутку:

.

На основі формули : , отже, кут між елементами і простору дорівнює .

Два вектори і евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток . Суму + двох ортогональних векторів і називатимемо гіпотенузою прямокутного трикутника, побудованого на векторах і .

Теорема Піфагора. Квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів.