Ортонормований базис в евклідовому просторі

В евклідовому просторі вектор називається нормованим, якщо його довжина дорівнює одиниці.

Припустимо, що в - вимірному евклідовому просторі існують попарно ортогональних векторів, що мають одиничні норми, тобто при . Покажемо, що ці векторів утворюють базис - вимірного простору (ортонормований базис). Для цього потрібно довести, що вектори …, лінійно незалежні. Припустимо, що , де – деякі доки невідомі дійсні числа. Помножимо обидві частини цієї рівності скалярно на вектор , отримаємо . Так як , , то число . Аналогічним чином встановлюється, що . Отже, рівність можлива лише тоді, коли , а це означає, що вектори …, лінійно незалежні.

Покажемо тепер, що ортонормовані базиси існують в евклідовому просторі. Нехай який-небудь базис - вимірного евклідового простору. Побудуємо за допомогою цього базису ортонормований базис простору. Покладемо . Із векторів і утворимо вектор . Число візьмемо таким, щоб . Отримаємо . Звідси, , а . Покладемо . Одиничний вектор ортогональний вектору . Побудуємо тепер допоміжний вектор . Підберемо числа і так, щоб . Для визначення цих двох чисел маємо систему рівнянь . Звідси випливає, , а Одиничний вектор , очевидно, ортогональний одиничним векторам і .

Продовжуючи процес створення попарно ортогональних одиничних векторів ,… (процес ортогоналізації), побудуємо за скінчене число кроків ортонормований базис - вимірного евклідового простору:

,

, ,

, ,

…

, .

Відмітимо, що різних ортонормованих базисів евклідового простору нескінченно багато, оскільки нескінченно багато базисів , з яких процесом ортогоналізації можна створювати ортонормовані базиси.

Нехай – який-небудь ортонормований базис евклідового простору, а и – два довільно взятих вектора цього простору. Представимо кожен з векторів у вигляді лінійної комбінації базисних . Знайдемо , вважаючи відомими координати векторів і в ортонормованому базисі. Маємо . Тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат в ортонормованому базисі.