Ортогональне доповнення підпростору евклідового простору. Ізоморфізм евклідових просторів

Нехай – який-небудь підпростір евклідового простору . Множина всіх векторів простору , ортогональних кожному вектору підпростору , називається ортогональним доповненням підпростору відносно простору . Покажемо, що множина є підпростором простору . Для цього потрібно переконається, що сума двох будь-яких векторів множини належить цій множині і що добуток будь-якого вектору множини на довільне дійсне число також належить множині . Нехай і – два довільні вектори множини , а – який-небудь вектор підпростору . Очевидно, і за властивыстю векторів множини . Так як , то . Для довільного числа маємо . Отже і вектор . Таким чином, множина є підпростором евклідового простору .

З'ясуємо, чи існують взагалі спільні вектори підпросторів та . Нехай і , тоді , тобто . Отже, підпростори і не мають спільних векторів, окрім вектора простору . Звідси витікає, що сума цих підпросторів є прямою.

Евклідові простори і називаються ізоморфними, якщо між векторами цих просторів можна встановити таку взаємно-однозначну відповідність, що , , де – образи векторів і простору .

Теорема. Всі евклідові простори однієї розмірності ізоморфні.