Комплексний евклідовий (унітарний) простір

Лінійний простір над полем комплексних чисел називається комплексним евклідовим простором або унітарним, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто вказано правило, за яким кожній парі векторів і простору ставиться у відповідність комплексне число , при цьому виконуються наступні умови (аксіоми скалярного добутку)

1. , ;

2. ;

3. ;

4. .

Тут – довільне комплексне число, – число, спряжене числу .

Комплексний евклідовий простір можна зробити нормованим, якщо кожному вектору поставити у відповідність дійсне число . Перевірка аксіом норми здійснюється так само, як і в дійсному евклідовому просторі. Вона основана на використанні нерівності Коші – Буняковського для унітарного простору .

В унітарному просторі поняття кута між двома векторами не використовується, але два вектори і такі, що , називаються ортогональними.

В комплексному евклідовому просторі існують ортонормовані базиси. Процес ортогоналізації довільного базису унітарного простору співпадає з процесом ортогоналізації базису дійсного евклідового простору.

Нехай – ортонормований базис комплексного евклідового простору, а і – два довільно взятих вектори цього простору. Тоді на основі аксіом і властивостей скалярного добутку

де – числа, спряжені комплексним числам . Таким чином , тобто скалярний добуток двох векторів унітарного простору, в якому вибраний ортонормований базис, дорівнює сумі добутків координат першого вектору на відповідні спряжені значення координат іншого вектору.