![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ЛІНІЙНІ ТА ЕВКЛІДОВІ ПРОСТОРИ
В таких алгебраїчних структурах, як група, кільце, поле об’єктом розгляду є одна множина елементів, над якими можна проводити одну або дві алгебраїчні операції. Лінійний простір є алгебраїчною структурою, в якій фігурують дві множини: поле та адитивна абелева група
. Для зручності елементи групи будемо називати векторами та позначати:
Елементи поля
будемо називати числами та позначати:
Множина називається лінійним простором над полем
, якщо виконуються наступні умови:
I. множина є адитивною абелевою групою:
1. ,
2. ,
3. існує нейтральний елемент ,
4. ;
II. кожній парі елементів і
ставиться у відповідність елемент
:
1. ,
2. , де
– нейтральний елемент поля
;
III. операції підпорядковуються законам дистрибутивності:
1. ,
2. .
При застосуванні теорії лінійних просторів найчастіше використовуються лінійні простори над полем дійсних або комплексних чисел. Тому в подальшому під полем будемо розуміти одне зі вказаних полів.
Два лінійних простори і
над одним полем
називаються ізоморфними, якщо між векторами цих просторів можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що сумі векторів простору
відповідає сума їх образів з
та вектору
простору
відповідає вектор
з
, тобто
.
Вектори лінійного простору
називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа
з поля
, серед яких не всі дорівнюють нулю, що
. Якщо остання рівність можлива лише у випадку, коли
, то вектори
називаються лінійно незалежними.
Лінійний простір над полем
називаються скінчено вимірним, якщо у ньому можна знайти скінчену максимальну лінійно незалежну систему векторів. Всяка така система називається базою (базисом) простору
. Кількість векторів бази називається розмірністю простору
.
Нехай вектори є базою скінчено вимірного простору
над полем дійсних або комплексних чисел. Тоді довільний вектор
простору можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів бази:
. Числа
називаються координатами вектора
в базі
.
Теорема 4.1. Якщо лінійні простори та
над полем
ізоморфні, то лінійно незалежній системі векторів
простору
відповідає лінійно незалежна система їх образів
простору
.
Наслідок. Якщо простори та
ізоморфні, то образом бази одного простору є база другого простору.
Нехай та
– дві різні бази одного
- вимірного лінійного простору
(над полем дійсних або комплексних чисел). Для зручності назвемо базу
старою, а
новою. Представимо кожний вектор нової бази у вигляді комбінації векторів старої:
(4.1.
Матрицю координат векторів нового базису у старому базисі
будемо називати матрицею переходу від старої бази до нової
.
Введемо у розгляд матриці-стовпці
та
.
Тоді за допомогою цих матриць систему (4.1. можна записати у вигляді: . Зауважимо, що матриця
невироджена.
Нехай вектор задано своїми координатами у старому базисі
. Тоді його координати у новому базисі можна визначити за формулою:
.
Множина лінійного векторного простору
над полем
дійсних або комплексних чисел називається підпростором простору
, якщо
. Довільна максимальна лінійно незалежна сукупність векторів підпростору
називається базою підпростору, а число векторів, що входять до бази, називається розмірністю підпростору.
Нехай – множина векторів
лінійного простору
. Сукупність всіх можливих комбінацій цих векторів, кожна з яких складається зі скінченої кількості векторів множини
, називається оболонкою множини
та позначається
. Лінійна оболонка
є підпростором простору
.
Теорема 4.2. Нехай множина складається зі скінченого числа векторів
лінійного простору
, тоді розмірність оболонки
дорівнює рангу системи векторів
.
Нехай – скінчено вимірний лінійний простір над полем дійсних або комплексних чисел, а
та
– два підпростори цього простору. Сумою
називають лінійну оболонку їх об’єднання
. Так як оболонка довільної множини векторів простору
є підпростором простору
, то сума підпросторів
та
є деяким підпростором простору
. Перетином двох підпросторів
та
простору
називають таку множину векторів, кожний з яких належить одночасно і підпростору
і підпростору
. Перетин
двох підпросторів
та
також є підпростором простору
.
Теорема 4.3. Нехай та
– два підпростори лінійного простору
. Тоді
.
Наслідок. Якщо підпростори та
-вимірного простору
такі, що
, то підпростір
містить хоча б один ненульовий вектор.
Якщо підпростір містить лише нульовий вектор, то сума таких підпросторів називається прямою та позначається
.
Теорема 4.4. Нехай та
– підпростори лінійного простору
, причому
. Тоді довільний вектор простору
можна представити єдиним чином у вигляді суми двох векторів, один з яких належить підпростору
, а другий –
.
Теорема 4.5. Якщо -вимірний лінійний простір
розкладається у пряму суму підпросторів
та
, тобто
, то
.
Нехай та
– два підпростори лінійного простору
, причому
. Якщо існує такий підпростір
простору
, що
, то підпростір
називають прямим доповненням до підпростору
відносно підпростору
.
Теорема 4.6. Якщо та
– два підпростори лінійного простору
, причому
, то існує підпростір
простору
, що є прямим доповненням до підпростору
відносно підпростору
.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 2004 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!