Лінійні простори

ЛІНІЙНІ ТА ЕВКЛІДОВІ ПРОСТОРИ

В таких алгебраїчних структурах, як група, кільце, поле об’єктом розгляду є одна множина елементів, над якими можна проводити одну або дві алгебраїчні операції. Лінійний простір є алгебраїчною структурою, в якій фігурують дві множини: поле та адитивна абелева група . Для зручності елементи групи будемо називати векторами та позначати: Елементи поля будемо називати числами та позначати:

Множина називається лінійним простором над полем , якщо виконуються наступні умови:

I. множина є адитивною абелевою групою:

1. ,

2. ,

3. існує нейтральний елемент ,

4. ;

II. кожній парі елементів і ставиться у відповідність елемент :

1. ,

2. , де – нейтральний елемент поля ;

III. операції підпорядковуються законам дистрибутивності:

1. ,

2. .

При застосуванні теорії лінійних просторів найчастіше використовуються лінійні простори над полем дійсних або комплексних чисел. Тому в подальшому під полем будемо розуміти одне зі вказаних полів.

Два лінійних простори і над одним полем називаються ізоморфними, якщо між векторами цих просторів можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що сумі векторів простору відповідає сума їх образів з та вектору простору відповідає вектор з , тобто .

Вектори лінійного простору називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа з поля , серед яких не всі дорівнюють нулю, що . Якщо остання рівність можлива лише у випадку, коли , то вектори називаються лінійно незалежними.

Лінійний простір над полем називаються скінчено вимірним, якщо у ньому можна знайти скінчену максимальну лінійно незалежну систему векторів. Всяка така система називається базою (базисом) простору . Кількість векторів бази називається розмірністю простору .

Нехай вектори є базою скінчено вимірного простору над полем дійсних або комплексних чисел. Тоді довільний вектор простору можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів бази: . Числа називаються координатами вектора в базі .

Теорема 4.1. Якщо лінійні простори та над полем ізоморфні, то лінійно незалежній системі векторів простору відповідає лінійно незалежна система їх образів простору .

Наслідок. Якщо простори та ізоморфні, то образом бази одного простору є база другого простору.

Нехай та – дві різні бази одного - вимірного лінійного простору (над полем дійсних або комплексних чисел). Для зручності назвемо базу старою, а новою. Представимо кожний вектор нової бази у вигляді комбінації векторів старої:

(4.1.

Матрицю координат векторів нового базису у старому базисі

будемо називати матрицею переходу від старої бази до нової .

Введемо у розгляд матриці-стовпці

та .

Тоді за допомогою цих матриць систему (4.1. можна записати у вигляді: . Зауважимо, що матриця невироджена.

Нехай вектор задано своїми координатами у старому базисі . Тоді його координати у новому базисі можна визначити за формулою: .

Множина лінійного векторного простору над полем дійсних або комплексних чисел називається підпростором простору , якщо . Довільна максимальна лінійно незалежна сукупність векторів підпростору називається базою підпростору, а число векторів, що входять до бази, називається розмірністю підпростору.

Нехай – множина векторів лінійного простору . Сукупність всіх можливих комбінацій цих векторів, кожна з яких складається зі скінченої кількості векторів множини , називається оболонкою множини та позначається . Лінійна оболонка є підпростором простору .

Теорема 4.2. Нехай множина складається зі скінченого числа векторів лінійного простору , тоді розмірність оболонки дорівнює рангу системи векторів .

Нехай – скінчено вимірний лінійний простір над полем дійсних або комплексних чисел, а та – два підпростори цього простору. Сумою називають лінійну оболонку їх об’єднання . Так як оболонка довільної множини векторів простору є підпростором простору , то сума підпросторів та є деяким підпростором простору . Перетином двох підпросторів та простору називають таку множину векторів, кожний з яких належить одночасно і підпростору і підпростору . Перетин двох підпросторів та також є підпростором простору .

Теорема 4.3. Нехай та – два підпростори лінійного простору . Тоді .

Наслідок. Якщо підпростори та -вимірного простору такі, що , то підпростір містить хоча б один ненульовий вектор.

Якщо підпростір містить лише нульовий вектор, то сума таких підпросторів називається прямою та позначається .

Теорема 4.4. Нехай та – підпростори лінійного простору , причому . Тоді довільний вектор простору можна представити єдиним чином у вигляді суми двох векторів, один з яких належить підпростору , а другий – .

Теорема 4.5. Якщо -вимірний лінійний простір розкладається у пряму суму підпросторів та , тобто , то .

Нехай та – два підпростори лінійного простору , причому . Якщо існує такий підпростір простору , що , то підпростір називають прямим доповненням до підпростору відносно підпростору .

Теорема 4.6. Якщо та – два підпростори лінійного простору , причому , то існує підпростір простору , що є прямим доповненням до підпростору відносно підпростору .