Метод простых итераций

Преобразуем исходную систему (4) к виду

или в векторном виде X = Ф (X).

Итерационная последовательность будет иметь вид:

X^(t+1) = Ф (X^(t+1)), t =0, 1, 2, …. (5)

Итерационная последовательность (5) определяет метод простых итераций (МПИ) или метод последовательных приближений. Процесс построения итерационной последовательности (5) начинается с начального приближения X⁽⁰⁾ =(, , …, ) ^T и продолжается по формуле (5). При определенных условиях эта последовательность со скоростью геометрической прогрессии будет приближаться к вектору – неподвижной точке отображения Ф (X), т. е. решению системы (4).

Алгоритм метода простых итераций

Шаг 1.

Задаем вектор функцию Ф (X);

задаем начальное приближение X⁽⁰⁾ =(, , …, ) ^T;

задаем погрешность e.

Шаг 2.

Вычисляем следующее приближение X^(t+1) = Ф (X^(t+1)) с учетом параллельного итерирования

Шаг 3.

Если max || X_i^(t+1)-X_i^(t) ||£ e, то итерационный процесс завершен и решение X^* @ X^(t+1). Иначе t = t +1, и переходим на шаг 2.