Теоретические сведения. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка

.

Определение. Число l называется собственным числом матрицы А, а ненулевой вектор Х - соответствующим ему собственным вектором, если АХ = lХ, или

(А-lЕ)Х=0. (1)

Замечание. Для существования нетривиального решения системы (1) должно выполняться условие det (А-lЕ)=0, или

. (2)

Постановка задачи. Определить, для каких ненулевых векторов Х и чисел l линейное преобразование вектора с помощью матрицы А не изменяет направления этого вектора в пространстве R_n, т. е. линейное преобразование сводится к «растяжению» этого вектора в l раз?

Исходя из постановки задачи, различают:

полную проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех пар { l,X } матрицы A;

частичные проблемы собственных значений, состоящие, как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел l и соответствующих им собственных векторов.

Алгоритм степенного метода

(или РМ – power method)

Шаг 1.

Задаем матрицу А;

задаем погрешность d;

задаем нулевое приближение собственного вектора Y⁽⁰⁾ и преобразуем его в единичный вектор .

Шаг 2.

Вычисляем следующую итерацию ;

вычисляем норму вектора ;

вычисляем вектор ;

вычисляем отношения координат векторов Y^(k), X^(k-1):

.

Шаг 3.

Если l_i^(k)- l_i^(k-1) < d,

то l_max = – среднее арифметическое всех l_i^(k),

или отношение первых компонент векторов

;

X = X^(k) – собственный вектор.

Иначе k = k+1, и переходим на шаг 2.

Замечание. Можно применить степенной метод для нахождения наименьшего по модулю собственного числа l_n, в случае если наибольшее число l₁ уже найдено.

Исходя из определения собственных значений и собственных векторов, рассмотрим следующую разность:

_ АХ_n = l_nХ

l_n Х_n = l₁Х (3)

_________________________________.

(A- l₁E) Х_n =(l_n-l₁) Х_n

Таким образом, для матрицы А-l₁Е существует собственная пара { L,X_n }, где L = l_n-l₁. Значит l_n=L-l₁, где | l_n | – наименьшее по модулю собственное число.