Теоретические сведения. Для решения системы нелинейных уравнений (4) запишем метод Ньютона в неявном виде:

Для решения системы нелинейных уравнений (4) запишем метод Ньютона в неявном виде:

F¢ (X^(t)) [ X^(t+1)-X^(t) ]=- F (X^(t)), (8)

где - матрица Якоби.

Обозначим за p^(t)=X^(t+1)-X^(t), тогда (8) можно переписать в виде

F¢ (X^(t))p^(t) =- F (X^(t)). (9)

Алгоритм метода Ньютона

Шаг 1.

Задаем вектор-функцию F (X);

Задаем начальное приближение X⁽⁰⁾ =(, , …, ) ^T;

задаем погрешность e.

Шаг 2.

Решаем систему линейных алгебраических уравнений относительно поправки p^(t):

F¢ (X^(t))p^(t) =- F (X^(t)).

Вычисляем следующее приближение

X^(t+1)=p^(t)+X^(t).

Шаг 3.

Если max || X_i^(t+1)-X_i^(t) ||£ e, то итерационный процесс завершен, и решение X^* @ X^(t+1). Иначе t = t +1, и переходим на шаг 2.

Замечание. При численном решении методом Ньютона можно заменить производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями .