Линейные системы с постоянными коэффициентами

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородная или неоднородная) всегда может быть проинтегрирована путем сведения ее к одному уравнению высшего порядка.

Пример 1. Найти общее решение системы

Решение. Продифференцируем первое уравнение системы: . В правую часть полученного равенства подставим выражение для из второго уравнения системы: Выразим из первого уравнения системы

(3.1)

Тогда для отыскания получим неоднородное уравнение

Корни характеристического уравнения . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Используя стандартные приемы, находим: Итак,

Используя формулу (3.1), получаем

Изложенный метод удобен только для решения несложных систем. В общем случае для решения линейных систем может быть использован "матричный метод".

Пусть имеется линейная система

, (3.2)

где постоянная матрица, . Обозначим через собственные значения матрицы .

Если все собственные значения матрицы различны, то общее решение системы (3.2) имеет вид

, (3.3)

где собственные векторы, соответствующие указанным собственным значениям.

Пример 2. Найти общее решение системы

Решение. Составим характеристическое уравнение

Ненулевые собственные векторы , соответствующие найденным собственным значениям, могут быть найдены как алгебраические дополнения элементов любой строки матрицы . Так, например, в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению , возьмем алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы

.

Аналогично находим

.

Поэтому, согласно формуле (3.3), общее решение системы имеет вид

Если среди различных корней характеристического уравнения имеются комплексно-сопряженные , то каждой такой паре корней соответствуют два комплексных решения , где и – комплексные собственные векторы. Комбинируя эти решения, легко получить два решения в вещественной форме. В качестве таких решений можно взять , .

Если среди корней характеристического уравнения имеется корень кратности , то этому корню соответствует решение вида

(3.4)

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов нужно подставить выражение (3.4) в систему (3.2) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях получившихся равенств. При этом следует помнить, что ровно из отыскиваемых коэффициентов могут быть выбраны произвольно, а остальные должны быть выражены через них.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение

или .

имеет корни .

Простому собственному значению соответствует собственный вектор и решение вида

. (3.5)

Решение, соответствующее двукратному корню , в соответствии с формулой (3.4), будем искать в виде

Получаем уравнение

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

Считая произвольными постоянными, окончательно находим

Складывая, наконец, последнее выражение с (3.5), получаем общее решение системы