Внутренние колебания систем с n степенями свободы

Приложим к рассмотренной выше раме, имеющей n динамических степеней свободы, возмущающую силу, изменяющуюся по гармоническому закону , где - амплитуда, - частота изменения силы.

Конструкция начнет совершать свободные и вынужденные колебания, которые будут накладываться друг на друга. В силу наличия сил внешнего и внутреннего трения, собственные колебания быстро затухнут и система станет совершать установившиеся вынужденные колебания с частотой возмущающей силы . Все массы получат перемещения, изменяющиеся по гармоническому закону:

.

Найдем перемещение по направлению i степеней свободы:

Силы инерции:

Где - амплитудное значение силы инерции. Из выражения находим:

Подставляя силы инерции и перемещение в формулу (*), получаем:

Обозначим - перемещение по направлению i степени свободы от статического действия силы, равной амплитуде возмущающей силы. Приведем подобные члены.

Раскрывая по всем i=1,2,…,n, получаем систему неоднородных алгебраических уравнений относительно амплитуд сил инерции.

Здесь введено обозначение - динамическая податливость. Она меньше статической податливости на величину и может быть как положительной, так и отрицательной.

Решая систему неоднородных уравнений, находим амплитудные значения сил инерции . Затем строим окончательную динамическую эпюру изгибающих моментов:

Где , - единичная и грузовая эпюры моментов, которые строятся предварительно с целью определения коэффициентов при неизвестных.

Рассмотрим два частных случая:

а) система с одной степенью свободы.

F(t)

m F(t) m

Если сила F(t) приложена к массе m, то откуда находим

. Следовательно, .

Вычислим суммарную динамическую силу, которая складывается из силы инерции и возмущающей силы.

Обозначим - динамический коэффициент. Тогда получаем:

– динамическая эпюра изгибающих моментов.

Покажем график изменения динамического коэффициента в зависимости от отношения вынужденной частоты колебания к собственной частоте колебания

1

0 0.5 1 1.5 2

При - система приходит в состояние резонанса, т.е. теоретически она может быть разрушена при достаточно малой возмущающей силе .

В дорезонансном состоянии .

В послерезонансном состоянии

Мы видим, что конструкция малочувствительна к высокочастотным колебаниям, которые называют вибрациями.