Метод предельного равновесия

Метод предельного равновесия называют так же методом разрушающих нагрузок, или методом расчета по несущей способности.

Условие прочности записывают в виде:

,

Где - наибольшая нагрузка, передаваемая на сооружение, а - допускаемая нагрузка, причем , где - предельная (разрушающая) нагрузка, - коэффициент запаса прочности.

Для определения разрушающей нагрузки используется диаграмма Прандаля, представляющая собой упрощенную зависимость между напряжением . Так ведет себя упругопластичный материал.

σ

A B А

0 0 σ_т

εT

ε ε

Так как деформация на площадке текучести АВ в сотни раз превышает деформацию в упругой зоне ОА, то используют так же еще более простую диаграмму для жестко-пластичного материала. Считается, что материал не деформируется до предела текучести, а затем ведет себя как пластичный.

Рассмотрим процесс развития пластических деформаций по высоте сечения изгибаемой балки.

М h

М

1 2

1 2

y a)σ_max<σ_T б) σ_max=σ_T в) σ_max=σ_T г) σ_max=σ_T

x M_y M_T M_yп∆ M_пр

Работа в пластичной зоне

Работа в упруго-пластичной зоне

Работа на границе упругой и пласт. зон

Работа в упругой зоне

b

Выразим изгибающий момент через предел текучести для случаев б) и г) для балки прямоугольного сечения.

Случай б) – материал работает на границе упругой и пластической зон, когда в крайних волокнах наблюдается фибровая текучесть.

M_t=σ_TW,

Где - осевой момент сопротивления.

Случай г) – материал полностью находится в пластической зоне.

Где - пластический момент сопротивления сечения.

Сравнивая, находим , следовательно, предельный момент М_пр в полтора раза превышает упругий момент М _т, соответствующий фибровой текучести.

При возникновении во всех точках опасного сечения напряжений, равных пределу текучести, балка теряет несущую способность и становится геометрически изменяемой, так как ее части слева и справа от сечения могут поворачиваться друг относительно друга как при шарнирном сочленении. В таком случае говорят, что в сечении балки появился пластический шарнир.

Р

Аналогично теряет несущую способность любая статически определимая рама.

Статически неопределимая конструкция (рама) может превращаться в механизм, если в ее сечениях появится n+1 пластический шарнир, где n – степень статической неопределимости. Решение задачи усложняется тем, что заранее трудно предугадать места появления пластических шарниров.

При расчете сооружений по методу предельного равновесия необходимо придерживаться такой последовательности:

1. Предварительно проводят обычный упругий расчет, что позволяет установить убывающий ряд степени напряженности стержней сооружения, используя эпюру изгибающих моментов.

2. Показывают геометрически изменяемый механизм сооружения, вводя (n+1) пластический шарнир в наиболее напряженные сечения опасных стержней убывающего ряда.

3. Загружают геометрически изменяемую систему, имеющую одну степень свободы, предельными моментами М_пр в пластических шарнирах и предельными внешними нагрузками Р_пр в заданных сечениях или узлах.

4. Составляют уравнение равновесия мезанизма, пользуясь принципом возможных перемещений. Находят предельную нагрузку.

Рассмотрим пример. М_пр

66,14

h=3м

72,27

P=30 кН/м Р_пр

21,46

P=ph=90kH 25,24 6 1 Р_пр=3_Рпр

47,73 ∆ 4

М

h=3м θ

5 3

l=3м 30 53,86

М_пр М_пр

М_пр

М_пр М_пр

Рама нагружена распределенной нагрузкой P=30кН/м и сосредоточенной силой Р=90кН. Рама 5 раз статически неопределима, если решать методом сил, и 2 раза кинематически неопределима если решать методом перемещений. Раскрыв неопределимость, получаем эпюру М. Для получения механизма с одной степенью свободы необходимо поставить 5+1=6 шарниров. Пронумеруем сечения по степени убывания моментов. Загружаем механизм предельными моментами и предельными внешними нагрузками.

Принимаем в качестве возможного перемещения угол поворота вертикальных стержней θ. Так как ригель не перемещается по вертикали, т.е. в направлении действия распределенной нагрузки, то она не совершает работы. Точка приложения сосредоточенной силы переместится по горизонтали на величину . На этом перемещении сила совершает положительную работу Р_пр∆; сечения 1-5 повернутся на угол θ, противоположный направлению моментов, следовательно, работа будет отрицательной.

Рассмотрим стержень круглого сечения. Для него

Чтобы получить допускаемую предельную нагрузку, разделим на коэффициент запаса прочности n=1,5:

Условие прочности выполняется, т.к.

Экономия материала составит:

Момент сопротивления можно уменьшить на 52%.