![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим невесомую раму, несущую n сосредоточенных масс, имеющих по одной степени свободы. Отклоним конструкцию от состояния статического равновесия и предоставим ее самой себе. Каждая из масс начнет совершать сложное движение, складывающееся из n простых движений следующего вида:
Pni Pnn
mi mn
![]() |
![]() |
m2 Pn,1
m1
Исследуем это движение.
Применим к движущейся системе принцип Даламбера, который позволяет заменить дифференциальные уравнения движения квазистатическими уравнениями равновесия. Приложим к каждой массе силу инерции
Как видно, сила инерции пропорциональна массе перемещению и квадрату частоты.
Вычислим перемещение по направлению степени свободы i массы, используя принцип суперпозиции:
Приведем подробные члены и разделим на квадрат частоты:
Раскрывая по всем i=1,2,…,n, получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно перемещений.
(*)
Для получения нетривиального решения необходимо потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, обращался в ноль.
Раскрывая определитель, получаем алгебраическое уравнение n степени относительно величины .
Это уравнение называется уравнением частот, или вековым уравнением. В коэффициенты будут входить податливость и массы.
Решая уравнение, находим n действительных корней , и, следовательно, n различных частот колебаний
.
Сложное движение каждой массы будет складываться из простых движений, соответствующих частотам колебаний.
Совокупность простых движений всех масс системы для какой-либо частоты колебаний определяет форму колебаний для этой частоты.
k форма колебаний.
Амплитудной формой колебаний называют такое отклонение системы от состояния равновесия, для которого . Каждая масса получает амплитудное перемещение
, которое можно найти как результат действия системы максимальных сил инерции.
Чтобы определить амплитудную форму колебания конструкции, необходимо решить систему однородных уравнений, получаемых из (*).
(**)
Так как определитель равен нулю, то система имеет несчетное множество решений. Обычно ее решают с точностью до постоянного множителя, полагая и отбрасывая, как лишнее, последнее уравнение системы, которое используют для проверки.
Формы колебаний системы обладают свойством ортогональности:
Где - амплитуда
массы при
форме колебаний;
- то же при
форме колебаний.
Если в системах уравнений (*) и (**) удается получить все побочные податливости равными нулю, т.е. при
, то системы распадаются на n независимых уравнений и легко решается.
Такие формы колебаний называют главными формами колебаний. В этом случае система с n степенями свободы ведет себя как система с одной степенью свободы, что облегчает динамический расчет.
Рассмотрим два частных случая.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 460 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!