Показательное распределение

Если дифференциальная функция (плотность) распределения вероятностей случайной величины выражается функцией

(4.1)

где k > 0 – параметр, то говорят, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Функция распределения такой случайной величины имеет вид

(4.2)

Теорема. Числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону, определяются по формулам:

; ; .

Пример 4.2. Написать дифференциальную и интегральную функции показательно распределенной случайной величины X, если параметр k = 6.

Решение

Подставив k в соотношения (4.1) и (4.2), получим

Пример 4.3. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал (2; 5).

Решение

Воспользуемся формулами вероятности попадания в интервал (a; b) случайной величины X:

1. через F(x):

2. через f(x)

Найдем f(x):

f(x) = F'(x) =

Ответ: e ^{– 1,2} – e ^{– 3}.

Пример 4.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и сред-нее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного дифференциальной функцией

Решение

Подставив k = 5 в формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, получим:

, , .

Тест 4.15. Параметр k показательного распределения, заданного дифференциальной функцией:

равен:

1) 2;

2) 0;

3) 1;

4) ;

5) 4.

Тест 4.16. Дисперсия показательного распределения, заданного дифференциальной функцией:

равна:

1) ;

2) 5;

3) 1;

4) ;

5) –5.

Тест 4.17. Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

равны:

1) l, l;

2) ;

3)

4) 1,0;

5) .

Тест 4.18. Случайная величина X имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция (плотность) распределения равна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .