Двумерные случайные величины

Двумерной случайной величиной называется случайная величина (X; Y), задаваемая рядом распределения с двумя входами

y x	y 1	…	ym
x 1	p 11	…	p 1 m
…	…	…	…
xn	pn 1	…	pnm

Так как события { x = x_i; y = y_j } образуют полную группу, то .

Пример 5.1. Двумерная случайная величина задана рядом распределения.

y x	y 1 = 1	y 2 = 2
x 1 = 0	0,1	0,4
x 2 = 3	0,2	p (x 2; y 2)

Какова вероятность p (x ₂; y ₂)?

Решение

p (x ₂; y ₂) = 1 – (0,1 + 0,4 + 0,2) = 0,3.

Ответ: 0,3.

Тест 5.1. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

x	y 1 = 1	y 2 = 2
x 1 = 0	0,1	0,4
x 2 = 3	0,2	p (x 2; y 2)

Вероятность p (x ₂; y ₂) равна:

1) 0;

2) 0,3;

3) 0,2;

4) 0,1;

5) 0,4.

Пример 5.2. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

x y	y 1 = 1	y 2 = 2
x 1 = 0	0,1	0,4
x 2 = 3	0,2	0,3

Записать ряд распределения случайной величины X.

Решение

X
pi	0,1 + 0,4	0,2 + 0,3

Тест 5.2. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения

	0,1	0,3
	0,4	p (x 2; y 2)

Вероятность p (x ₂; y ₂) равна:

1) 1;

2) 0,7;

3) 0,6;

4) 0,2;

5) 0.

Тест 5.3. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

	y 1 = 1	y 2 = 2
x 1 = 0	0,1	0,4
x 2 = 3	0,2	0,3

Вероятность появления x ₂ = 3 равна:

1) 0;

2) 0,1;

3) 0,2;

4) 0,3;

5) 0,5.

Тест 5.4. Двумерная случайная величина задана рядом распределения

	y 1= 1	y 2= 2
x 1= 0	0,1	0,4
x 2= 3	0,2	0,3

Вероятность появления у ₁ = 1 равна:

1) 0;

2) 0,1;

3) 0,2;

4) 0,3;

5) 0,5.

Зависимость между случайными величинами x и y описывает корреляционный момент:

.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, между которыми предполагается линейная корреляционная связь, называется величина, определяемая по формуле

.

Корреляционной матрицей называется матрица вида

.

Корреляционная матрица также устанавливает взаимосвязь наборов выборочных данных по величине:

· при 0 < r_XY < 1 большим значениям случайной величины X соответствуют большие значения случайной величины Y;

· при –1 < r_XY < 0 большим значениям случайной величины X соответствуют меньшие значения случайной величины Y (или наоборот);

· при r_X = 0данные двух случайных величин некоррелированы;

· при существует линейная функциональная зависимость между случайными величинами X и Y.

Пример 5.3. Корреляционный момент k_xy = 270. Какова зависимость между X и Y?

Решение

Так как k_xy имеет размерность, то можно говорить лишь о прямой зависимости между Х и Y.

Пример 5.4. Коэффициент корреляции r_XY = – 0,375. Какова зависимость между Х и Y?

Решение

По коэффициенту можно судить о виде зависимости и ее силе. Так как r_XY = – 0,375 < 0, то зависимость обратная, так как , то связь между Х и Y высокая.

Тест 5.5. Известно, что k_xy = 2,75, s _Х = 3,1, s _Y = 2,5. Коэффициент корреляции равен:

1) ;

2) ;

3) .

Тест 5.6. Коэффициент корреляции r_XY = 0. Тогда зависимость между X и Y:

1) прямая линейная;

2) обратная линейная;

3) данные двух случайных величин некоррелированы.

Тест 5.7. Коэффициент корреляции r_XY = 1. Тогда зависимость между X и Y:

1) прямая линейная;

2) обратная линейная;

3) данные двух случайных величин некоррелированы;

4) функциональная прямая линейная.

Тест 5.8. Коэффициент корреляции r_XY = –1. Тогда зависимость между X и Y:

1) прямая линейная;

2) обратная линейная;

3) данные двух случайных величин некоррелированы;

4) функциональная обратная линейная.

Вопросы для самоконтроля

1. Двумерные случайные величины.

2. Корреляционный момент.

3. Коэффициент корреляции.

Ответы на тестовые задания

Номер теста	5.1	5.2	5.3	5.4	5.5	5.6	5.7	5.8	5.9
Правильный ответ