Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины F(x) = P(X < x) является непрерывно дифференцируемой

Функция распределения непрерывной случайной величины F (x) = P (X < x) является непрерывно дифференцируемой, за исключением конечного числа точек.

Все свойства функции распределения дискретной случайной величины выполняются и для функции распределения непрерывной случайной величины.

Производная от функции распределения F (x) называется плотностью распределения вероятностей (или дифференциальной функцией распределения):

.

Пример 3.12. Дана функция распределения непрерывной случайной величины

Найти плотность распределения этой случайной величины.

Решение

При x = 5 имеем: , .

Так как , то не существует.

При x = 10 имеем: , .

Так как , то не существует.

Тест 3.9. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:

Дифференциальная функция распределения (плотность распределения) f (x) будет равна:

1) 0;

2) 1;

3)

4)

5)

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле

Вероятность того, что непрерывная случайная величина x примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), определяется равенством

,

.

Пример 3.13. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , через и .

Решение

1. Воспользуемся формулой

.

По условию ; ; на этом интервале . Следовательно, искомая вероятность

.

2. Найдем плотность распределения:

Воспользуемся формулой .

Тогда

.

Ответ: .

Тест 3.10. Дана функция распределения непрерывной случайной величины

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (3;4), равна:

1) 0;

2) ;

3)

4) 1;

5) .