Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если дифференциальная функция имеет вид

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если дифференциальная функция имеет вид

,

где а иs – параметры,

а – математическое ожидание;

s – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения F (x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону, имеет вид

.

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), вычисляется по формуле

Р (a < X < b) = Ф Ф ,

где Ф(X) = – функция Лапласса.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

P (|X – a| < d) = 2Ф .

Тест 4.19. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a = 2, . Тогда равна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Ф(1).

В частности, при a = 0 справедливо равенство

.

«Правило трех сигм». Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973:

2Ф(3)=0,9973.

Свойства функции :

1. Область определения – вся числовая ось.

2.

3. , следовательно, ось OX является горизонтальной асимптотой графика функции.

4. Функция имеет в точке x=a максимум, равный .

5. График функции симметричен относительно прямой x = a.

6. График функции в точках имеет перегиб.

На основании перечисленных свойств график функции (нормальная кривая) имеет вид, представленный на рис. 9.

Рис. 9

Тест 4.20. На графике изображена кривая нормального распределения вероятностей (рис. 10).

Рис. 10

Математическое ожидание равно:

1) а = 1;

2) а = 2;

3) а = 3;

4) а = 4;

5) а = 0.

Параметр a характеризует положение нормальной кривой, а параметр s – форму.

На рис. 11 приведено положение нормальной кривой в зависимости от параметра а (если а ₁< а ₂).

Рис. 11

На рис. 12 приведена форма нормальной кривой в зависимости от параметра s (если ).

Рис. 12

Тест 4.21. На рисунке рис. 13 изображены три нормальные кривые.

Рис. 13

Меньшему значению а соответствует кривая:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) положение нормальной кривой не зависит от параметра а;

5) другой ответ.

Тест 4.22. На рис. 14 изображены три нормальные кривые.

Рис. 14

Меньшему значению параметра s соответствует нормальная кривая:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) вид нормальной кривой не зависит от s;

5) другой ответ.

Пример 4.5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. какова вероятность того, что в результате испытания случайная величина х примет значение, заключенное в интервале (15;25).

Решение

Воспользуемся формулой

.

Подставив ; a = 20, получим:

По таблице находим: .

Таким образом, .

Ответ: 0,6826.

Пример 4.6. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 15. Вероятность попадания х в интервал (15;20) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания х в интервал (10;15)?

Решение

Так как график нормальной кривой симметричен относительно прямой x = a = 15,то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (10;15) и (15;20) равны между собой (рис. 15).

Рис. 15

Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то Р (10 < X < 15) = p(15 < X < 20) = 0,2.

Ответ: 0,2.

Тест 4.23. Нормально распределенная случайная величина х задана дифференциальной функцией

,

Математическое ожидание равно:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 5;

5) .

Тест 4.24. Нормально распределенная случайная величина х задана дифференциальной функцией

,

Среднее квадратическое отклонение равно:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 5;

5) .

Тест 4.25. Случайная величина х распределена нормально с математическим ожиданием а = 8. Вероятность попадания х в интервал (0;4) равна 0,2. вероятность попадания х в интервал (12;16) равна:

1) 0,1;

2) 0;

3)1;

4) 0,4;

5) 0,2.

Тест 4.26. Вероятность попадания в интервал (15;25) нормально распределенной случайной величины х с математическим ожиданием а = 20 и средним квадратическим отклонением равна:

1) ;

2) ;

3) .

Вопросы для самоконтроля

1. Биномиальный закон распределения случайной величин.

2. Закон распределения Пуассона.

3. Равномерный закон распределения.

4. Показательный закон распределения.

5. Нормальный закон распределения.

Ответы на тестовые задания