В независимых испытаниях

Число k ₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k ₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k ₀ определяют из двойного неравенства

,

причем:

1) если число np – q дробное, то существует одно наивероятнейшее число k ₀;

2) если число np – q целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k ₀ и k ₀ + 1;

3) если число np целое, то наивероятнейшее число k ₀ = np.

Пример 2.6. Доля изделий высшего сорта на предприятии составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 120 изделий?

Решение

По условию n = 120, , q = 1 – 0,4 = 0,6.

Наивероятнейшее число k ₀ находим из двойного неравенства

.

Подставим данные задачи: 120 × 0,4 – 0,6 £ k ₀ £ 120 × 0,4 + 0,4, получаем 47,4 48,4.

Так как k ₀ целое число, заключенное между 47,4 и 48,4, то k ₀ = 48.

Ответ: 48.

Пример 2.7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле p = 0,7. Какова вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов?

Решение

Находим наивероятнейшее число попаданий из двойного неравенства: 9 × 0,7 – 0,3 £ k ₀ £ 9 × 0,7 – 0,7, получаем 6 £ k ₀ £ 7.

Получили два наивероятнейших числа: k ₀ = 6 и k ₀ = 7. Вероятности их наибольшие и равны между собой. Найдем одно из этих значений, например,

Ответ: 0,252.

Тест 2.7. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было установлено, что вероятность выпадения дождя 13 июля равна . Наивероятнейшее число дождливых дней 13 июля в ближайшие 50 лет равно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Вопросы для самоконтроля

1. Какой вид имеет формула Бернулли?

2. Когда применяются локальная и интегральная теоремы Лапласа?

3. В каких случаях нужно пользоваться формулой Пуассона?

4. Как определяется малая функция Лапласа? Каковы ее свойства?

5. Как определяется функция Лапласа? Каковы свойства функции Лапласа?

6. Что называется наивероятнейшим числом наступления события в n независимых испытаниях?

Ответы на тестовые задания