Границю

Доведення. Використовуючи твердження теореми 4, маємо

.

Звідси

,

тобто послідовність , Î , монотонно зростає.

Аналогічно для послідовності , Î , маємо

Звідси .

Таким чином, послідовність , Î , також монотонно зростає.

Оскільки ,

то послідовність , Î , спадає.

Тому Î .

Тобто (y_n) - обмежена послідовність і вище було показано, що вона зростає.

Отже, послідовність має границю. Цю границю

в математиці позначають буквою , тобто .

Таку границю називають другою визначеною границею для послідовностей. Доведено, що число e – ірраціональне число і його розклад в десятковий дріб з деякою точністю має вигляд =2,718281828459045…

Логарифм числа x>0 за основою e називається натуральним логарифмом і позначається символом ln x. Оскільки за означенням логарифма правильна рівність , то прологарифмувавши її за основою 10, маємо де Число називають модулем переходу від натурального логарифма до логарифма десяткового.

Далі доведемо існування границі функції в

точці . Цю границю називають другою визначною границею для власної функції.

ТЕОРЕМА 6. Правильна рівність

Доведення. Спочатку доведемо рівність

Можемо вважати . Для кожного Î існує натуральне число таке, що .

Звідси .

Оскільки , то

або

Якщо , то . Крайні частини останніх нерівностей мають границі при , що дорівнюють числу .

Звідси за теоремою 6 §3 і функція при

матиме праву границю, що дорівнює .

Покажемо, що і ліва границя функції в точці дорівнює числу . Введемо нову змінну , зв’язану із змінною рівністю .

Зазначивши, що , дістанемо

Якщо прямує до нуля зліва, то прямує до нуля справа. Звідси, враховуючи, що згідно доведеного вище твердження

маємо

За теоремою 6 §3 випливає справедливість рівності

Теорема 5 доведена.

Вправа. Виходячи з неперервності елементарних функцій і і, використовуючи другу визначну границю, довести справедливість таких рівностей:

Примітка. Другу визначну границю для функції при записують так:

Приклад 1. Знайти

Розв’язування.