Означення границі функції

В багатьох прикладних задачах потрібно знайти значення

функції f(x) при прямуванні неперервного аргументу x до деякої точки , в якій функція може бути і невизначена. Така поведінка функції в деякій точці називається границею функції в точці . Оскільки може бути як скінченим числом, та і дорівнювати то приведемо декілька означень границі функції.

Означення 1. Число називається границею функції, коли і позначається, якщо для довільного як завгодно малого додатного можна вказати таке додатне число, що з нерівності випливає нерівність.

Коли , то означення границі функції аналогічне і використовують позначення .

Означення 2. Число називається границею функції при, що прямує до, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу збіжної до, відповідна послідовність значень функції збігається до.

Означення 3. Число називається границею функції при, що прямує до (), якщо для будь-якого малого наперед заданого додатного можна вказати таке додатне число, що із нерівності випливає нерівність.

Коротко це означення записують так: .

Слід відмітити, що теореми про границю суми, різниці, добутку і частки для числових послідовностей (функцій цілочисельного аргументу Î є справедливими і для функцій неперервного аргументу, а саме:

ТЕОРЕМА. Нехай на множині X задані функції і , гранична точка множини X і в точці обидві функції мають скінчені границі , Тоді 1)

2)

3) якщо то

При знаходженні границь функції будемо користуватися тим, що для основних елементарних функцій в будь-якій точці із області визначення має місце рівність тобто

Наприклад,

Розглянемо декілька способів обчислення границь.

Приклад 1. . Знайти .

Розв’язування. Розділивши чисельник і знаменник на , одержимо

Тепер, використовуючи основні теореми про границі та домовленість, що , nÎN, , маємо =

Приклад 2. . Знайти

Розв’язування. В результаті безпосередньої підстановки у даний дріб маємо невизначеність (. Тому, використовуючи формули розкладу, зробимо такі перетворення:

Таким чином,

Приклад 3. ( Знайти .

Розв’язування. Аналогічно, як у прикладі 2, підстановка нуля замість у заданий вираз дає невизначеність (. Перетворимо дріб таким чином: помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений до чисельника, а потім скоротимо дріб. В результаті одержимо

=

На основі одержаного результату маємо