Перша визначна границя

Для розкриття невизначеностей вигляду ( у тригонометричних виразах користуються таким твердженням.

ТЕОРЕМА 2. Функція при має границю, що дорівнює 1, тобто - перша визначна границя.

Доведення. Якщо є кут, виміряний у радіанах, , то (див. мал.) для площ трикутника сектора трикутника правильні нерівності .

або

.

Після скорочення на число дістанемо .

Поділивши почленно на знайдемо , звідси

Помноживши останню нерівність на (-1) і додавши (+1) до кожної частини знайдених нерівностей, маємо

Використовуючи нерівність і

перетворюючи вираз знаходимо

.

Тому . (A)

Покажемо правильність нерівностей (A) і для .

Візьмемо допоміжну змінну Оскільки , то за доведеним вище

Підставивши замість число (-x), дістанемо

і, зважаючи на непарність функції sinx, знайдемо

, тобто нерівність (А) правильна для всіх .

Для наперед заданого числа число візьмемо таким, що дорівнює . Тоді з нерівностей

випливатиме нерівність

.

А це означає, згідно означення 3, що границя функції в

точці x=0 дорівнює одиниці. Теорему доведено.

Приклад 1.

Приклад 2.