Властивості збіжних числових послідовностей

Теорема 3.1. Якщо границя числової послідовності існує, то вона єдина.

Доведення (Від протилежного). Припустимо протилежне, а саме: у збіжної послідовності дві різні границі: , . Оскільки за означенням може бути довільним додатним числом, візьмемо .

У такому випадку - околи точок і не перетинаються: . Нехай за означенням границі, починаючи з номера , члени послідовності належать , а починаючи з , належать . Розглянемо член послідовності з номером . Оскільки , то , але також , отже, , тобто перетин цих околів містить принаймні одне число : . Отримано протиріччя, яке встановлює правильність твердження теореми.

Теорема 3.2. Будь-яка збіжна послідовність є обмеженою.

Доведення. Нехай . Візьмемо . За означенням . З останньої нерівності випливає, що, починаючи з номера , члени послідовності належать проміжку і тільки перші членів можуть лежати поза цим проміжком. Позначимо та . Тоді для всіх членів виконується нерівність: і, отже, за означенням, послідовність є обмеженою.

Зауваження. Теорема встановлює необхідну умову збіжності, а саме: якщо послідовність збіжна, то вона обмежена, але не будь-яка обмежена послідовність є збіжною.

Приклад. Розглянемо послідовність: . Її члени дорівнюють +1, або , тобто вона є обмеженою. Але ця послідовність не має границі. Дійсно, візьмемо , тоді для будь-якої точки , її -окіл або не містить членів послідовності, або містить нескінченну їх кількість, але поза цим околом також знаходиться нескінченна множина членів послідовності, тобто, жодне число не може бути границею цієї послідовності.

Означення 3.25. Числова послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 3.3 Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай дано дві нескінченно малі послідовності: . За означенням, для будь-якого існує номер такий, що , або: . Аналогічно, для будь-якого існує номер такий, що , або: .

Тоді : . Отже, границя суми дорівнює нулю, послідовність є нескінченно малою.

Зауваження. Асоціативний закон, якому підпорядкована операція додавання, дозволяє розповсюдити теорему на суму скінченої кількості послідовностей.

Теорема 3.4. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай - нескінченно мала послідовність (),

- обмежена послідовність (). За означенням, для будь-якого існує номер такий, що , або: . Тоді : . Отже, , тобто добуток є нескінченно малою послідовністю.

Теорема 3.5. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай дві нескінченно малі послідовності. Розглянемо їх добуток. Оскільки перша з них є збіжною, то за теоремою 3.2. вона є обмеженою. Отже, ми маємо добуток нескінченно малої послідовності на обмежену, і за теоремою 3.4. цей добуток є нескінченно малою послідовністю.

Зауваження. Асоціативний закон, якому підпорядкована операція множення, дозволяє розповсюдити теорему на добуток скінченої кількості послідовностей.

Теорема 3.6. Для того щоб послідовність мала границею число , необхідно і достатньо, щоб послідовність була нескінченно малою.