Степенева функція

З окремими випадками степеневої функції учні ознайомлювалися в 7 і 8 класах (у = х², у =х³, у = ). Однак на тому етапі навчання термін «степенева функція» і відповідне означення ще не вводились, оскільки ще не відбулось розширення поняття степеня до степеня з дійсним показником.

Ввівши степінь з дійсним показником х^р, бачимо, що при за­даному дійсному значенні р кожному додатному х можна поставити у відповідність числове значення степеня х^р. Отже, при стало­му дійсному показнику р і змінному додатному х маємо функцію у = х^р, яку називають степеневою.

Властивості степеневої функції залежать від заданого значення р.

Доцільно розглянути різні можливі множини значень.

І. Нехай р — натуральне число.

Назвімо властивості функції.

1. Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел. Область значень залежить від парності чи непарності р.

Якщо р — парне, то область значень у = х^р є множиною невід'ємних чи­сел, а якщо непарне, то – множиною R всіх дійсних чисел.

2. Функція парна при парному р і непарна - при непарному р.

3. При х = 0 і у = 0, при х = 1 і у = 1, тобто всі графіки степене­вих функцій проходять через початок координат і точку (1; 1).

4. При парному p функція зростає на проміжку [0; + ) і спадає на проміжку (- ; 0].

При непарному p функція зростає на всій області визначення.

5. При парному р графіки степеневих функцій схожі з графі­ком функції у = x²,а при непарному - з графіком функції у=x³.

II. Нехай p - ціле від'ємне число.

У цьому випадку функція у = х^p визначена на множині всіх дійсних чисел, крім х=0. Коли p - парне від'ємне число, множиною значень функції є множина всіх додат­них чисел. Функція парна на області визначення і графік, скла­даючись з двох віток, симетричний щодо осі у; y = x^p зростає за x (- ; 0) і спадає за х (0; + ). Коли р - непарне від'єм­не число, множиною значень функції є об'єднання двох числових проміжків (- ; 0) і (0; + ). Функція непарна, спадна на всій області визначення, графік її симетричний стосов­но початку координат.

III. Нехай р - дробове додатне число, тобто р = , де т і п - натуральні числа.

З урахуванням означення степеня з дробовим показником сте­пенева функція матиме вигляд у=х = . 3 окремим випадком такої функції (у= ) учні ознайомились в курсі алгебри 8 класу.

При р = , р = степенева функція має вигляд у= , у= відповідно. Графіки двох останніх функцій схожі за формою з графіком функції y = . Неважко довести, що всі функції зроста­ючі, їхня область визначення залежить від показника кореня. Для парних п функція визначена лише для невід'ємних значень х, для непарних - за будь-якого дійсного х. У загальному випадку функ­ція у= розглядається лише при х 0.

Варто звернути увагу учнів на те, що функції у=х² і y = при х 0, у=х^з і у= при х R - взаємно обернені.

Література:

1. Алгебра і початки аналізу. Підруч для 10-11 кл. серед, шк./ А. М. Колмогоров, О. М. Абрамов, та ін.; За ред. А. М. Колмогорова. - К.: Освіта, 1992. - 350 с.

2. Алгебра й начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш. А. Ли­мов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993.-254с

3. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1992.- 350 с.

4. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посібник.- 3-тє вид., перероб. і доп. - К.: Вища шк., 1989.- 367 с.

5. Шкіль М., Слєпкань 3. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналі­зу: Проби, підруч. для 10-11 кл. серед, шк. - К.: Зодіак-ЕКО, 1995.- 608с.