Геометрична ймовірність

Якщо число результатів випробувань нескінченне, то вводять геометричну ймовірність – ймовірність попадання точки в певну область (на відрізок, частину площини).

Нехай на відрізок L навмання ставлять точку А; ймовірність попадання цієї точки на відрізок пропорційна його довжині та не залежить від розміщення відрізка. Тоді, за геометричним означенням, покладаємо: (тут та L – довжини відповідних відрізків).

Якщо ж точка падає в область площини, то вона може при цьому опинитись у деякій підобласті цієї області. Нехай ймовірність попадання точки в пропорційна площі і не залежить ні від розміщення, ні від форми підобласті . Тоді , де – площа підобласті, а – площа усієї області.

Приклад. (задача Бюффона – вченого, який жив і працював у 18 столітті).

Площина розграфлена паралельними прямими, які знаходяться на відстані одна від одної. На площину навмання кидають голку довжиною . Знайти ймовірність того, що голка перетне яку-небудь пряму.

Розв’язування. Нехай – відстань від середини голки до найближчої паралелі , а – кут між голкою та цією паралеллю (). Середина голки може попасти в будь-яку з точок прямокутника із сторонами і – отже, цей прямокутник можна розглядати як фігуру ; площа дорівнює .

Визначимо фігуру , кожна точка якої відповідає середині голки, яка перетне найближчу до неї паралель. Голка перетне найближчу паралель, якщо . Отже, маємо:

,

де – площа фігури . Таким чином, ймовірність того, що голка перетне паралель, дорівнює: .

За допомогою одержаної формули можна наближено обчислити число (експериментально). Підкидаючи голку разів і підрахувавши, що разів вона перетне одну з прямих, з врахуванням статистичного означення ймовірності будемо мати: ( – досить велике). Звідси одержуємо: . Один з експериментаторів при одержав, що .

Елементи комбінаторики. Співвідношення та операції над подіями