Класичне означення ймовірності

Якщо студент іде на екзамен, знаючи 90 із 100 білетів, то можливість одержати “щасливий” білет для нього більша, ніж “нещасливий”. Цю можливість можна охарактеризувати числом, яке називається ймовірністю події.

Нехай подія А – це “попався щасливий білет” (випробування – це “студент взяв білет”). Кожен із можливих результатів випробовування називають елементарним результатом (або елементарною подією). Можливі 100 елементарних результатів:

– попався “щасливий” білет;

– попався “нещасливий” білет.

Ці результати отримують повну групу попарно несумісних подій; вони рівно можливі (білети старанно перемішані).

Ті елементарні результати, в яких дана подія з’являється, називаються сприятливими для цієї події (сприятливими є 90 результатів – ). Подія А спостерігається при появі одного з елементарних результатів випробувань (все одно, якого).

Ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих цій події елементарних результатів випробувань до загального числа всіх рівноможливих елементарних результатів, що утворюють повну групу:

.

Отже, у нашому прикладі Р(А)=0,9.

Із означення випливають такі властивості ймовірності:

1) ймовірність достовірної події дорівнює одиниці (дійсно, і, отже, ).

2) ймовірність неможливої події дорівнює нулю (дійсно, , тому );

3) ймовірність випадкової події – це число, яке знаходиться в межах (дійсно, при , тобто ).

Отже, , де А – будь-яка подія.

Наведене вище означення ймовірності події було сформульоване Лапласом і називається класичним означенням.

Приклад. Знайти ймовірність події – А “при підкиданні двох гральних кубиків випало в сумі 8 очок”.

Розв'язування. При підкиданні двох кубиків можуть бути одержані такі рівноможливі результати:

І ІІ	І ІІ	І ІІ	І ІІ	І ІІ	І ІІ
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6	2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6	3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6	4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6	5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6	6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

Всіх можливих варіантів 36. Подія А відбувається у п’яти (виділених) рівноможливих випадках. Отже, .

Зауважимо, що при розв’язуванні задач на класичне означення ймовірності часто користуються правилами суми і добутку.

Правило суми. Якщо деякий об’єкт можна вибрати способами, а об’єкт – способами, причому ніякий вибір не збігається з жодним з виборів , то один з об’єктів або можна вибрати способами.

Наприклад, якщо в одному ящику є деталей, а в другому – деталей, то існує способів дістати з якого-небудь ящика одну деталь.

Правило добутку. Якщо об’єкт можна вибрати способами і при кожному виборі об’єкту об’єкт можна вибрати способами, то вибір пари можна здійснити способами.

Так, у розглянутому вище прикладі про підкидання двох гральних кубиків загальне число рівноможливих варіантів (36) можна розраховувати за правилом добутку як .