Усеченный конус

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси (рис. 72). Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.

Рис. 72

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции АВСO вокруг стороны СO, перпендикулярной к основаниям АO и ВС (рис. 73). При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и OА трапеции.

Рис. 73 Рис.74

Найдем формулу площади боковой поверхности усеченного конуса, зная радиусы r, r₁ оснований и образующую усеченного конуса l (рис. 74).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса, это разность площадей большого конуса и маленького, образованного сечением.

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности, площади нижнего основания и площади верхнего основания

Задача 1.

Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м² требуется 150 гр. краски? (Толщину стенок ведер в расчет не принимать.)

Решение. Найдем сначала площадь одного ведра внешней и внутренней поверхности, поэтому используя полученную формулу площади усеченного конуса, умножаем значение на 2. . Подставим в формулу все известные величины:

Найдем суммарную поверхность 100 таких ведер: .

Теперь найдем массу краски в килограммах, необходимую для покраски всех ведер:

.

Ответ: 7,1кг.

ЗАДАЧИ

Цель. Учиться изображать конус, его элементы и сечения, выполнять чертежи по условиям задач; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности.

1. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найти образующую

2. Образующая конуса L наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найти высоту.

3. Радиус основания конуса R. Осевым сечением служит прямоугольный треугольник. Найти его площадь.

4. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

5. Радиус основания конуса R. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найти площадь сечения.

6. Высота конуса 6, радиус основания 8. Найти боковую поверхность.

7. Высота конуса 4см, образующая 5 см. Найти полную поверхность

8. По высоте H равностороннего конуса определить его полную поверхность.

9. Равнобедренный треугольник вращается относительно своей высоты. Определить стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см. а полная поверхность тела вращения равна 60π см².

10. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найти образующую.

11. Радиусы оснований усеченного конуса Rиr, образующая наклонена к основанию под углом 45^о. Найти высоту.

12. Радиусы оснований усеченного конуса 11 см и 16 см., образующая 13 см. Найти расстояние от центра меньшего основания до окружности большего.

13. Высота усеченного конуса равна H. Определить образующую, если она наклонена к основанию под углом в 30^о.

Ответы к задачам. 1.5 м. 2.L 3. R² 4. 500. 5. 6. 80π 7. 24π 8. πH² 9. 11 см, 11 см и 8см. 10. 5 м. 11. R – r. 12. 20 см 13. 2H