За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки

Так как площадь прямоугольника АВВ₁А₁ равна , то для вычисления площади S_бок боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h получается формула: .

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна πr², то для вычисления площади полной поверхности цилиндра получаем формулу:

Задача 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найти: площадь осевого сечения цилиндра (рис.57)

Рис. 57

Решение: . По рисунку (рис. 57) площадь осевого сечения – это площадь прямоугольника ABCD. .

Из формулы нахождения площади боковой поверхности: . Подставим это выражение в формулу осевого сечения: .

Ответ: .

Задача 2. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?.

Решение. Воспользуемся формулой площади полной поверхности цилиндра: .

Радиус равен половине диаметра – 0,1м, а высота цилиндра равна длине нужной трубы – 4м.

Так на швы нужно добавить 2,5% площади ее боковой поверхности, нужно найти: (S+2,5%S). Подставим вместо S формулу площади боковой поверхности, и вычислим:

Ответ: 2,6 м².

Задача 3

Концы отрезка АВ = 13 дм лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен 10 дм, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 дм. Найти: высоту H цилиндра (рис. 58)

Рис. 58

Решение. Проведем образующую ВС: Так как ОО₁ перпендикулярен ВС, то ОО₁

перпендикулярен плоскости АВС. Проведем . Так как и , т .Таким образом, прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС и BC плоскости АВС. Следовательно, , значит, расстояние между прямыми АВ и ОО₁ равно ОК; ОК = 8 дм.

Рассмотрим ∆АКО – прямоугольный, по теореме Пифагора: , АС=2AK=12 дм.

Рассмотрим - прямоугольный, по теореме Пифагора: .

BC – образующая цилиндра, и она равна высоте цилиндра.

Ответ: H=5 дм.

Задача 4.

Через образующую АА₁, цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра, угол между плоскостями равен φ. Найти: отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями (рис.59)

Решение. Нарисуем плоскости α – ABB₁A₁ и β - AA₁C₁C в цилиндре. Построим угол между плоскостями на рисунке (рис.59).

Рис. 59

. Значит, угол .

Теперь найдем отношение площадей, которое спрашивается:

. (Угол C в треугольнике ABC – прямой, так как он опирается на диаметр нижнего основания цилиндра).

Ответ: .

Задача 5.

Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен φ, Площадь основания цилиндра равна 8. Найти площадь боковой поверхности цилиндра

Решение. Обозначим на рисунке АВСD - осевое сечение, диагональ осевого сечения – AC, угол CAB=φ. (см. рис. 60).

Рис. 60

Для более удобной подстановки в формулу обозначим, что BC=2r, AB=h.

Из треугольника ABC, .

. Вместо h подставляем найденное выражение, получаем: .

В полученном выражении πr²=S_осн – по условию. Значит, .

Ответ: .

В данной задаче 3, можно воспользоваться только рисунком 61, не рисуя полностью весь цилиндр.

Рис. 61

Задачи

Цель. Учиться изображать цилиндр, его элементы и сечения, выполнять чертежи по условиям задач; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

1. Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найти диагональ осевого сечения.

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Найти площадь основания.

3. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найти площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.

4. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.

5. Стороны прямоугольника а и в. Найти боковую поверхность цилиндра, полученного от вращения этого прямоугольника вокруг стороны, равной а.

6. Диаметр основания цилиндра равен 1, высота равна длине окружности основания. Найти S_бок

7. Высота равностороннего цилиндра равна h. Найти боковую поверхность.

8. Радиус основания цилиндра равен R, боковая поверхность равна сумме площадей оснований. Найти высоту.

9. Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найти боковую поверхность.

Ответы к задачам

1. 5 м. 2. . 3.36 см² 4. 3дм. 5.2π ав 6. π²7. πh² 8. R 9. πQ

Конус.

Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга (Р), - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками окружности основания (рис.62)

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса (РМ). Все образующие конуса равны друг другу.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности

ОР – ось конуса

Отрезок, заключенный между вершиной и основанием — высотой конуса (РО)

Рис. 62

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус (рис. 63), полученный вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.

Рис.63