Решение. Так как хорда АВ основания конуса стягивает дугу в 60° , то она равна радиусу основания: АВ = ОА = ОВ (рис

Так как хорда АВ основания конуса стягивает дугу в 60°, то она равна радиусу основания: АВ = ОА = ОВ (рис. 69). Проведем и соединим отрезком точки С и М. Тогда (по теореме о трех перпендикулярах) и угол МСО — линейный угол двугранного угла с ребром АВ. По условию, МСО = 45°.

В задаче спрашивается площадь сечения, то есть площадь треугольника MAB. .

Найдем сначала OC. Так как треугольник MOC равнобедренный, то OC=OM=10. Тогда гипотенуза .

Рассмотрим ∆COB – прямоугольный, . .

Подставим числа в формулу: .

Ответ: .

Задача 3

Конус, в основание которого вписан , AC = a, . Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом φ. Найти: Площадь полной поверхности конуса (рис. 70).

Рис. 70

Решение: Чтобы найти площадь поверхности, мы должны знать образующую и радиус основания. По теореме синусов .

Чтобы найти образующую рассмотрим ∆AOP. По условию, угол . Тогда длина образующей

Зная радиус и образующую, подставим их в формулу площади:

Задача 4

Равнобедренный ∆АВС, боковая сторона равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найти: площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

Решение:

Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника АВС вокруг основания АС, состоит из двух конусов с общим основанием, диаметром которого служит отрезок BB₁ (рис. 71).

Рис.71

Искомая площадь S равна удвоенной площади боковой поверхности конуса. В данном случае радиус равен OB, а образующая равна АВ = m.

Чтобы найти радиус, рассмотрим ∆AOB – прямоугольный, .

Подставим все, что нам известно в формулу: