Определение 10.8

Разностью векторов a и b называется сумма .

Разность обозначается , то есть .

Определение 10.9 Произведением вектора a на

вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1)
и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если ,

и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4).

Билет 6. Скалярным произведением двух векторов

и называется ЧИСЛО, равное произведению

длин этих векторов на косинус угла между ними:

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается

через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается

вектор на вектор, а получается число. Действительно

если длины векторов –

это числа, косинус угла – число, то

их произведение тоже будет числом.

Билет 8. Пусть дана матрица размеров

и число , не превосходящее наименьшего из чисел

и : . Выберем произвольно

строк матрицы и столбцов (номера строк

могут отличаться от номеров столбцов). Определитель

матрицы, составленной из элементов, стоящих на

пересечении выбранных строк и столбцов,

называется минором порядка матрицы .

Пример 14.9

Пусть.

Минором первого порядка является любой элемент матрицы.

Так 2, , -- миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим

2. минор ;

3. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим

4. минор ;

5. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим

6. минор

Миноры третьего порядка:

строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4,

2. получим минор;

3. возьмем столбцы 1, 2, 3,

4. получим минор.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы

система была совместна, необходимо и достаточно,

чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу

расширенной матрицы.
Определение. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной

матрицы, т.е. , то ранг матрицы называют рангом

системы.

Примечание. Если ранг системы равен числу неизвестных, то система

определённая.
^ Теорема Крамера. Если матрица квадратной системы невырожденная,

то система определенная.

В этом случае решение системы может быть найдено по формулам

Крамера.

^ Формулы Крамера. Решение неоднородной системы уравнений

с неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу

системы, находится по формулам

, i = 1, 2, …, n

где – определитель системы; – определитель матрицы,

получаемой из основной матрицы системы заменой её i- го столбца

столбцом свободных членов.

Билет 10. 1)А(х - x₀) + В(у - y₀) + C(z — z₀) = 0 —

уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀; y₀; z₀)

перпендикулярно нормальному вектору = {А;В;С}.

2) Ах + By + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости,

= {А, В, С} - нормальный вектор этой плоскости.

3) - уравнение плоскости в отрезках,

где а, b, с - величины направленных отрезков, отсекаемых

плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Oz соответственно;

4) Пусть даны две плоскости ,

={А,В,С}, , = {А; В; С}.

В качестве угла между плоскостями и принимают

угол между их нормальными векторами:

или в координатной форме

5) Условие перпендикулярности двух

плоскостей и : ( • ) = 0 или в

координатной форме: А₁А₂ + В₁В₂ + C₁C₂ = 0.
6) Условие параллельности двух плоскостей

и :

7) Уравнение плоскости, проходящей через

три данные точки М₁(х₁; у₁; z₁), M₂(х₂; у₂; z₂),

M₃(х₃; у₃; z₃): = 0

или в координатной форме:

8) Если плоскость задана общим уравнением

Ах + By + Cz + D - 0, а M₀(x₀; y₀; z₀) - некоторая

точка пространства, то

есть формула расстояния от точки M₀ до плоскости .

9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через

одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Если A₁х + В₁у + C₁z + D₁ = 0 и А₂x + В₂у + C₂z + D₂ = 0

есть уравнения двух различных непараллельных плоскостей,

пересечением которых служит некоторая прямая L, а

числа , - любые не равные одновременно нулю,

то (A₁х + В₁у + C₁z + D₁) + (А₂x + В₂у + C₂z + D₂) = 0

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Более того, какова бы ни была проходящая через

прямую L плоскость, она может быть определена из

пучка плоскостей при определенных значениях , .