Билет 14. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом

последовательности {x _n }, если для любого

сколь угодно малого положительного числа

e существует номер N, что все значения x

_{n ,} у которых n>N, удовлетворяют неравенству

ê x _n - a ê < e. (6.1)

Записывают это следующим образом:

или x _n ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному

неравенству

a- e < x _n < a + e, (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная

с некоторого номера n>N, лежат внутри

интервала (a- e, a+ e), т.е. попадают в

какую угодно малую e -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел,

называется сходящейся, в противном случае

- расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением

понятия предела последовательности, так кАк

предел последовательности можно рассматривать

как предел функции x _n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка

области определения этой функции D(f), т.е. такая точка,

любая окрестность которой содержит точки множества

D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать

множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Теорема 1. Если существуют пределы