Билет 13. Элементарные функции

Основными элементарными функциями

считаются: многочлен, рациональная

функция, которая представляет собой

отношение двух многочленов, степенная

функция, показательная функция, логарифмическая

функция, тригонометрические функции и обратные

тригонометрические функции.

К элементарным функциям относятся и те

функции,

которые получаются из элементарных путем

применения (конечного числа раз) основных четырех

арифметических действий и образования сложной

функции. Приведем несколько примеров элементарных функций:

, , ,

, .

Отметим, что функция также является

элементарной, поскольку .

Элементарные функции наиболее изучены и часто

используются в приложениях математики.

Хотя понятие функции сформировалось лишь

в XVII в., однако зависимости между двумя

величинами рассматривались и ранее. К XVII в.

почти все основные элементарные функции

были достаточно хорошо изучены: к этому времени

уже были составлены высокой точности таблицы

значений тригонометрических функций и появились

первые таблицы логарифмов. Дифференциальное

исчисление дало законченное исследование основных

элементарных функций, в частности было установлено,

что производная от элементарной функции есть также

элементарная функция.

Развитие математического анализа, решение различных

прикладных задач привели к рассмотрению функций

, которые не являются элементарными. Например

, не выражаются через элементарные функции решения

дифференциальных уравнений:

, .

При изучении неэлементарных функций их, как

правило, выражают через элементарные с помощью

пределов, интегралов, бесконечных рядов и исследую

т методами математического анализа.