Задание №1

Три грибника, рассматривая найденный гриб, высказали свои предположения. Первый грибник сказал: "Не верно, что, если это не опенок, то этот гриб съедобный". Второй грибник также был осторожен и сказал: "Не верно, что этот гриб или ядовитый, или опенок, или не сыроежка". Третий грибник заявил: "Это гриб не ядовитый, и я отрицаю, что если это сыроежка, то она съедобна". В итоге оказалось, что все три грибника были правы и их суждения оказались истинными. Какой гриб нашли грибники?

Решение.

A="Гриб опенок"

B="Гриб сыроежка"

C="Гриб съедобный"

D="Гриб ядовитый"

Так как высказывания всех трех грибников истинны, то итоговая функция равна их конъюнкции:

Функция импликации преобразуется в дизъюнктивную нормальную форму следующим образом:

Функция F принимает единичное значение только на одном наборе значений аргументов, в котором a=0, b=1,c=0, d=0, т.е. найденный гриб - сыроежка.

Формулы:

В Е2 =НЕ(A2) В F2 =НЕ(B2) В G2 =НЕ(C2)

В H2 =НЕ(D2) В I2 =И(E2;G2) В J2 =И(E2;B2;H2)

В K2 =И(H2;B2;G2) ВL2=И(I2;J2;K2)

Задание№ 2. Петя, Вася и Маша остались дома одни. Кто-то из них ел варенье. На вопрос мамы, кто это сделал, они сказали:
а) Петя: «Я не ел. Маша тоже не ела».
б) Вася: «Маша действительно не ела. Это сделал Петя».
в) Маша: «Вася врет. Это он съел».

Выясните, кто ел варенье, если известно, что двое из них оба раза сказали правду, а третий один раз соврал, а один раз сказал правду.

Решение:

Введем обозначения: П – «Петя ел», В — «Вася ел», М — «Маша ела».

Самостоятельно составить функции

Первое Петино высказывание: «Я не ел». Значение этого высказывания противоположно П. Действительно, если П равно 1, то Петя ел варенье, тогда первое Петино утверждение неверно; если же П равно 0, то Петя не ел варенье, значит, Петя сказал правду.

Таким образом, значение первого Петиного высказывания равно________

Аналогичными рассуждениями можно показать, что значения второго Петиного высказывания и первого Васиного высказывания равны, второго Васиного высказывания равно П, второго Машиного высказывания равно В.

Осталось оценить первое утверждение Маши: «Вася врет». Оно означает, что Васино высказывание неверно, то есть что выражение (П) ложно. Получается, что значение первого Машиного утверждения равно значению выражения__________

Составим таблицу истинности для высказываний всех детей:

П	В	М	Петины Утверждения:	Васины утверждения	Машины утверждения
П	В	М	«я не ел»	«Маша тоже не ела»	«Маша действительно не ела»	«Это сделал Петя»	«Вася врет»	«Это он съел»

Нас интересуют те варианты значений П, В и М, при которых два ребенка сказали правду, а третий — один раз соврал, а один раз сказал правду. Такие варианты соответствуют тем строкам таблицы, которые имеют пять единиц и один ноль в шести последних колонках. Таких строк в таблице только одна (третья), соответствующая значениям П = 0, В = 1, М == 0.

За П мы обозначили значение утверждения “Петя ел”. П = 0 означает, что это утверждение ложно, то есть Петя не ел варенье.

В = 1 означает, что утверждение “Вася ел” истинно, то есть Вася ел варенье.

М = 0 означает, что утверждение “Маша ела” ложно, то есть Маша не ела варенье.

Получается, что условие задачи (2 ребенка сказали правду, а третий один раз соврал) выполняется только для ситуации, в которой Петя и Маша не ели варенье, а Вася ел.

Ответ. Варенье ел Вася, так как только при одном (третьем) варианте возможных значений ответ двоих - 1 и 1, а ответ одного — 0 и 1.

Задание №3. Решите логическую задачу методом построения таблицы истинности логического уравнения в Microsoft Excel.

Задача: В школе в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На аудиториях повесили шутливые таблички, про которые известно, что они либо обе истинны, либо обе ложны. На первой аудитории повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет информатики», а на второй аудитории – табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории». Определите, какой кабинет находится в каждой из аудиторий.

1. Переведём условие задачи на язык алгебры логики. Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
   А – «В первой аудитории находится кабинет информатики»,
   В – «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
2. Поскольку в каждой из аудиторий обязательно размещается какой – либо из двух кабинетов, отрицания этих высказываний будут соответствовать:
   не А – «В первой аудитории находится кабинет физики»,
   не В – «Во второй аудитории находится кабинет физики».
3. Высказывание, содержащееся на табличке первой аудитории, соответствует логическому выражению: Х = А или В.
4. Высказывание, содержащееся на табличке второй аудитории, соответствует логическому выражению: У = не А.
5. Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи одновременно либо истинные, либо ложные соответствует истинности функции эквивалентности:
   (Х → У) = 1.
6. Выразим функцию эквивалентности через базовые логические функции и получим:
   (Х и У) или (не Х и не У) = 1.
7. Подставим вместо Х и У соответствующие логические выражения:
   ((А или В) и не А) или ((не (А или В) и (не (не А)) = 1.

8. Заполните таблицу в Microsoft Excel используя вставку символов для знаков «˅» или «˄».

1. В ячейку С2 введите логическую функцию, для этого
• Выделите ячейку С2,
• Щёлкните по значку f_x в строке формул,
• Выберите категорию «логические», выберите функцию «не», нажмите ОК,
• В появившемся диалоговом окне, в поле «значение» будет мигать текстовый курсор, ничего не вводя в это поле, щёлкните по ячейке А2, ОК,
• В ячейке С2 появится значение
  «истина», выделите эту ячейку
  и протяните по столбцу до ячейки
  А5 включительно.
2. Подобным образом заполните остальные ячейки строки 2 и выполните протягивание по каждому из столбцов.
   
   ВНИМАНИЕ! Основные операции, которые следует выбрать как функцию в соответствующем диалоговом окне выделены красным цветом, выражения слева и справа от них являются значениями ячеек строки 2 соответствующих столбцов.

11. Если вы всё сделали правильно, получите следующий результат:

Таким образом выражение будет истинным при А = 0, В = 1, т.е.
во второй аудитории находится кабинет информатики и соответственно, в первой – физики.