Строение теоремы. Виды теорем

Теоремы часто формируются в виде импликаций: если А(х), то В(х) для каждого х, т.е. ( х Î х)А(х)®В(х), где х Î X.

1) Из разъяснительной таким образом части, в которой описывается множество записывается "хÎХ;

2) условия теоремы (предикат А(х));

3) заключения теоремы (предикат В(х)).

Часто в формулировке теоремы описание множества Х не выделяется, а только подразумевается.

По отношению к теореме А(х) ® В(х) можно сформулировать теорему:

а) обратную данной В(х) ® А(х);

б) противоположную данной ;

в) обратную противоположной .

Согласно закону контрапозиции, теоремы А(х) ® В(х) и равносильны[1].

Некоторые теоремы могут быть сформулированы в виде А(х) « В(х), где х Î X. Доказательство таких теорем сводится к доказательству двух взаимно обратных теорем: А(х) ® В(х) и В(х) ® А(х), одна из которых выражает необходимость, а другая –достаточность

Задача 2.

Среди следующих предложений выделить высказывания, преди­каты: установить, истинны или ложны высказывания, а для предика­тов найти множества истинности:

а) Енисей – река сибирская;

б) любой человек имеет сестру;

в) 2х + 5х – 4;

г) х² – 4 = 0;

д) хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4 является решением уравнений х – 4 = 0;

е) 2х – 5 < 3;

ж) сколько вам лет?

Решение.

а) это – истинное выказывание;

б) т.к. есть люди, не имеющие сестер, это ложное высказывание;

в) это выражение, содержит переменную, но не является предикатом, т.к. не становится высказыванием при конкретных значениях х;

г) это одноместный предикат от х, истинный при х = 2 или х = – 2

д) это истинное высказывание;

е) это предикат, чтобы найти множество истинности, решим неравенство, получим 2х < 8 и х < 4, тогда Т= (– ¥, 4), если область определения Х = R;

ж) это предложение не является высказыванием, как и любое вопросительное предложение.

Задача 3.

Студент перед экзаменом сказал, что он ответит на первый или на второй теоретический вопрос и решит задачу. В каком случае его высказывание будет ложным? (Перечислите все возможные случаи.)

Решение.

Для ответа на вопрос выявим логическую структуру данного вы­казывания. Через А обозначим высказывание: «студент ответил на первый вопрос», через В: «студент ответил на второй вопрос», через В «студент решил задачу». Тогда высказывание студента примет вид: (А Ú В) Ù С.

В задаче требуется указать все случаи, когда это высказывание ложно. Так как это конъюнкция, то, по определению, она будет лож­ной в том случае, когда хотя бы одно из высказываний ложно. Таким образом, высказывание (А Ú В) Ù С ложно, если ложно высказывание А Ú В или высказывание С.

Далее выясним, когда будет ложно высказывание А Ú В. Так как это дизъюнкция, то, по определению, она ложна лишь в одном случае, когда ложны оба высказывания А и В.

Таким образом, получим, что высказывание (А Ú В) Ù С ложно в тех случаях, когда:

а) А – «Л» и В – «Л», т.е. когда студент не ответил ни на первый, ни на второй вопросы;

б) С – «Л», т.е. когда студент не решил задачу;

в) А – «Л», В – «Л», С – «Л», т.е. когда студент не ответил ни на один вопрос или не решил задачу.

Задача 4.

На множестве Х= {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} заданы два предиката – А(х): «х - нечетное число», В(х): «число х кратно 3».

а) Сформулировать предикат А(х) Ù и найти его множество истинности.

б) Изобразить множества истинности предикатов А(х) и В(х) с помощью кругов Эйлера и заштриховать множество истинности предиката А(х) Ù .

Решение.

а) Сформулируем предикат – «число х не кратно 3».

Сформулируем конъюнкцию предикатов А(х) Ù : «х – нечетное и не кратное 3 число». Найдем множества истинности предикатов А(х), В(х), . Т_А = {5, 7, 9, 11, 13, 15}. Т_В = {6, 9, 12,15}; = Х\Т_В = {5, 7, 8, 10, 11, 13, 14). Найдем множество истинности конъюнкции А(х) Ù по формуле

{5, 7, 11, 13}.

б) Множество Х – универсальное для множеств Т_А и Т_В. Круги для множеств Та и Т_В пересекаются, т.к. множества имеют общие эле­менты. Множество истинности предиката А(х) Ù показано на рисунке штриховкой.

Задача 5.

Запишите на языке логики предикатов следующие высказывания:

а) некоторые действительные числа являются рациональными;

б) всякое число, кратное 6, кратно 3.

Решение.

а) Пусть А(х):«х является действительным числом», В(х):«х – рациональное число». Тогда высказывание а) можно записать ($х)А(х)ÙВ(х).

б) Пусть А(х): «х кратно 6»;

В(х): «х кратно 3»;

Высказывание б) имеет вид: ("х) А(х) ® В(х).

Задача 6.

Пусть А(х): «х – простое число», В(х): «х – четное число», С(х): «х – целое число», Д(х, у): «х делит у».

Сформулировать словами следующие высказывания, записанные на языке логики предикатов и определить, какие из них истинные и какие ложные.

а) ("х) А(х) ® В(х),

б) ($х) ("у) С(х) Ù С(у) ® Д(х, у).

Решение

Высказывание а): «любое простое число есть число четное» ложно, т.к., например, 3 – простое число, но оно нечетное. Высказывание б) «существует такое целое число х, что для любого целого числа у, х делит у» – истинно, т.к., например, 1 делит любое целое число.

Задача 7.

Построить отрицание высказывания и прочитать его.

а) ($х ÎN) х 5,

б) ("хÎZ)($уÎZ)х+у = 3.

При построении отрицания будем пользоваться равносильностями.

,

а)

Любое натуральное число х не кратно 5

б) ¹ 3.

Существует целое число х, что при любом целом уравнение х + у = 3 не имеет решения.

Задача 8.

На множестве Х= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} заданы предикаты А(х): «х 4» и В(х): «х 2».

а) выяснить, какой из предикатов логически следует из другого, записать этот факт, используя символ =>;

б) прочитать полученную импликацию со словами «необходимо», «достаточно».

Решение.

а) Найдем множества истинности предикатов. Т_А = {4, 8}; Т_В = {2,4, 6, 8}; Та Ì Тв, следовательно, А (х) => В(х), предикат В(х) логически следует из предиката А(х).

б) х 4 => х 2 = А(х) => В(х), т.к. предикат В(х) логически следует из А(х), то В(х) – необходимое условие для А(х), а А(х) – достаточное условие для В(х). Для того, чтобы х 4 необходимо, чтобы х 2. Для того, чтобы х 2, достаточно, чтобы х 4.

Задача 9.

Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник – параллелограмм». Сформулируем теоремы, являющиеся обратной и противоположной данной.

Решение.

Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «В четырехугольнике х две противоположные стороны равны и параллельны».

Заключение: «Четырехугольник х параллелограмм».

Меняя местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник х – параллелограмм, то в четырехуголь­нике х две противоположные стороны равны и параллельны».

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицания­ми, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырех­угольнике х две противоположные стороны не равны или не парал­лельны, то четырехугольник х не параллелограмм».

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение высказывания.

2. Сформулируйте определение отрицания высказывания и запи­шите его таблицу истинности.

3. Сформулируйте определение операции конъюнкции (дизъюн­кции) двух высказываний и запишите ее таблицу истинности.

4. Сформулируйте определение операций импликации (эквиваленции) двух высказываний и запишите ее таблицу истинности.

5. Дайте определение логического следования.

6. Какие формулы называют равносильными?

7. Сформулируйте определение предиката. Приведите примеры предикатов Р(х) и Q(х), чтобы один из них был логическим следствием другого.

8. Дайте понятие кванторов общности и существования.

9. Пусть утверждение имеет форму логического следования А => В. Какое условие будет необходимым (достаточным) для другого?

10.Даны предикаты А(х) и В(х). А(х): Число х делится на 10. В(х): «Число х делится на 5».

1) Верно ли, что А(х) => В{х)?

2) Верно ли, что В(х) => А(х)?

3) Верно ли, что А(х) Û В(х)?