Погрешности округления чисел в ЭВМ

круглением будем называть операцию замены заданного числа другим числом, первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа, а начиная с S+1 разряда содержат нули.

Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд округленного числа, в зависимости от ситуации, может добавляться единица.

Пусть, например, x=123456789, тогда при S=7 округленное число принимает значение . В этом случае погрешность округления равна , то есть не превышает единицы (с соответствующим порядком) в младшем разряде округленного числа.

Всякое вещественное число в компьютере представляется в нормализованном виде x = a×p^b, где p - основание, b - показатель степени (целые числа), a - мантисса (вещественное число). Для определенности и однозначности будем считать p=10, . Ошибки округления появляются при хранении именно мантиссы вещественного числа. В представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7 значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8 байт) или 19 (10 байт).

Рассмотрим оценки погрешности округления при S=7. Округленное число представляется в виде , где под символом X может пониматься любая цифра от 0 до 9. Очевидно, что абсолютная погрешность определяется значением

.

Модуль относительной погрешности

.

Для некоторых частных случаев погрешность представления вещественных чисел оценивается:

Для всех чисел, представимых в электронно-вычислительной машине, относительная погрешность одна и та же, что очень существенно при получении оценок погрешностей математических моделей.