Пермь гггг

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Пермский государственный технический университет

Кафедра математического моделирования систем и процессов

М. Г. Бояршинов

Ч и с л е н н ы е м е т о д ы

Учебное пособие для студентов направления

“Прикладная математика и информатика”

Часть 1

Пермь гггг

УДК 681.3

Б 86

Численные методы: Учебное пособие для студентов направления “Прикладная математика и информатика” / М. Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, гггг. - 176 с.

Учебное пособие написано на основе курса, читаемого студентам направления “Прикладная математика и информатика” (специализация “Математическое моделирование”) в Пермском государственном техническом университете.

Введены основные понятия математического моделирования, рассмотрены причины и источники погрешностей при проведении вычислительного эксперимента. Рассмотрены прямые и итерационные методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, вопросы аппроксимации функций полиномами и сплайнами, вопросы численного дифференцирования и интегрирования. Сформулирована алгебраическая проблема собственных значений и векторов, определены пути ее решения. Основное внимание уделяется оценкам погрешности при проведении вычислений, устойчивости и сходимости алгоритмов решения прикладных задач.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов вузов, специалистов, занимающихся вопросами построения моделей систем и процессов. Может быть полезно учителям средних учебных заведений при проведении факультативных занятий по компьютерному моделированию.

Печатается по решению редакционно - издательского совета Пермского государственного технического университета.

Табл. 13. Ил. 28. Библиогр.: 12 назв.

Рецензенты:

д-р физ.-мат наук Е. Л. Тарунин; зав. кафедрой математики и информатики Перм. гос. ун-та,

канд. физ.-мат. наук О. Ю. Сметанников

ISBN 5 - 88151 - 158 - 1 ã Пермский государственный

технический университет, 1998

Оглавление

Введение.............................................................. 6

1. Источники и причины погрешностей математической модели................. 8

Погрешность математической модели.................................. 10

Погрешность исходных данных....................................... 11

Погрешность численного метода...................................... 11

Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах........... 13

Погрешности округления чисел в ЭВМ............................... 13

Погрешность результатов вычисления арифметических операций.........14

“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на ЭВМ 15

Машинная реализация вычислений.................................. 16

Контрольные вопросы и задания.................................... 16

2. Системы линейных алгебраических уравнений............................. 17

Прямые методы решения............................................ 17

Метод Гаусса.................................................... 18

Определение числа операций алгоритма метода Гаусса................. 27

Вычисление определителя матрицы.................................. 28

Построение обратной матрицы..................................... 29

Метод квадратного корня......................................... 30

Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня....... 35

Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений............... 36

Итерационные методы решения....................................... 42

Метод Якоби.................................................... 42

Метод Зейделя................................................... 45

Сходимость итерационных методов................................. 47

Скорость сходимости............................................. 54

Полиномы Чебышёва............................................. 55

Итерационный метод с чебышёвским набором параметров.............. 61

Неявный метод с чебышевским набором параметров................... 65

Метод минимальных невязок....................................... 66

Метод минимальных поправок..................................... 67

Метод скорейшего спуска.......................................... 69

Неявный метод скорейшего спуска.................................. 70

Контрольные вопросы и задания.................................... 71

3.Нелинейные уравнения................................................. 73

Методы вычисления корней нелинейного уравнения...................... 73

Метод половинного деления........................................ 73

Метод простых итераций.......................................... 75

Метод Ньютона.................................................. 80

Модификации метода Ньютона..................................... 84

Системы нелинейных уравнений...................................... 87

Метод простых итераций.......................................... 87

Метод релаксации................................................ 88

Метод Ньютона.................................................. 89

Нелинейный вариант метода Якоби................................. 90

Нелинейный вариант метода Зейделя................................ 91

Контрольные вопросы и задания.................................... 93

4. Аппроксимация функций............................................... 94

Интерполяция степенными функциями................................. 95

Интерполяционный многочлен Ньютона............................. 95

Интерполяционная формула Лагранжа.............................. 99

Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)........................ 99

Сходимость интерполяционного процесса........................... 101

Интерполяционный многочлен Эрмита............................. 103

Интерполяция сплайнами........................................... 106

Построение кубического сплайна.................................. 106

Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами........... 110

Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве................ 117

Метод наименьших квадратов..................................... 122

Контрольные вопросы и задания................................... 125

5. Алгебраическая проблема собственных значений.......................... 126

Устойчивость собственных значений и векторов........................ 128

Определение собственных значений и векторов......................... 132

Метод интерполяции............................................. 132

Трехдиагональные матрицы....................................... 133

Поиск собственных векторов...................................... 135

Частичная проблема собственных значений............................ 138

Метод линеаризации............................................. 138

Степенной метод................................................ 140

Метод обратных итераций........................................ 141

Контрольные вопросы и задания................................... 144

6.Численное дифференцирование......................................... 145

Конечно-разностная аппроксимация.................................. 145

Применение интерполяционных формул............................... 147

Контрольные вопросы и задания..................................... 148

7.Численное интегрирование............................................. 149

Формула прямоугольников.......................................... 150

Формула трапеций................................................. 153

Формула Симпсона................................................ 156

Формула Эйлера................................................... 160

Оценка погрешности методом Рунге.................................. 161

Квадратурные формулы интерполяционного типа....................... 163

Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса........... 164

Контрольные вопросы и задания..................................... 172

Предметный указатель.................................................. 173

Библиографический список.............................................. 176