В случае бесконечной производной

Из уравнения секущей имеем:

Переходя в равенстве к пределу при, получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде, то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и - длина пути, проходимого за время, отсчитываемого от некоторого момента времени.

Для определения скорости в данный момент придадим переменной некоторое приращение, при этом приращение пути будет равно.