Теорема доказана

ВОПРОС № 22-(42)

Теорема Роля, Коши, Лангранжа о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), в которой f '(c) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [ a; b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка c, a < c < b такая, что f(b) – f(a)=f '(c)(b – a).

Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [ a; b ] и дифференцируемые внутри него, причем g '(x) ≠ 0 при всех x Î (a; b), то внутри отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), что .

БИЛЕТ № 17-(37)

Правило дифференцирования. Таблица производных

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

Таблица производных

ВОПРОС № 16-(36)

Уравнение касательной и нормали к графику функции

Пусть функция задается уравнением y = f (x), нужно написать уравнение касательной в точке x 0. Из определения производной:
y /(x)=limΔ x →0Δ y Δ x
Δ y = f (x +Δ x)− f (x).
Уравнение касательной к графику функции: y = kx + b (k, b = const). Из геометрического смысла производной: f /(x 0)= tg α= k

Т.к. x 0 и f (x 0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y − f (x 0)= f /(x 0)(x − x 0), или
y = f /(x 0)· x + f (x 0)− f /(x 0)· x 0.