Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где

Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции, имеет вид:, где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (.

Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей, при стремлении точки по графику к точке.

Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел, то есть, чтобы существовала конечная производная функции в точке.

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :

Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид